Question

Diez cajas idénticas tienen cada una dimensiones $3$ ft $\times$ $4$ ft $\times$ $6$ ft. La primera caja se coloca plana sobre el suelo. Cada una de las nueve cajas restantes se coloca, por turno, plana encima de la caja anterior, y la orientación de cada caja se elige al azar. Sea $\frac{m}{n}$ la probabilidad de que la pila de cajas mida exactamente $41$ ft de altura, donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m.$

Ten identical crates each have dimensions $3$ ft $\times$ $4$ ft $\times$ $6$ ft. The first crate is placed flat on the floor. Each of the remaining nine crates is placed, in turn, flat on top of the previous crate, and the orientation of each crate is chosen at random. Let $\frac{m}{n}$ be the probability that the stack of crates is exactly $41$ ft tall, where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m.$

Respuesta

Solución:

Cada caja aporta de forma independiente una altura $3,$ $4,$ o $6,$ cada una con probabilidad $\frac{1}{3},$ así que hay $3^{10}$ pilas igualmente probables. Si $x,$ $y,$ $z$ cajas tienen alturas $3,$ $4,$ $6,$ entonces $x + y + z = 10$ y $3x + 4y + 6z = 41;$ restar tres veces la primera ecuación da $y + 3z = 11,$ así que $\begin{aligned} (x, y, z) &= (1, 8, 1), \\ &\quad (3, 5, 2), \\ &\quad (5, 2, 3). \end{aligned}$

Estas pueden ordenarse de $\frac{10!}{1!\,8!\,1!} = 90,$ $\frac{10!}{3!\,5!\,2!} = 2520,$ y $\frac{10!}{5!\,2!\,3!} = 2520$ maneras, para un total de $5130$ pilas. La probabilidad es $\frac{5130}{3^{10}} = \frac{190}{3^7},$ que está en su forma más simple ya que $190 = 2 \cdot 5 \cdot 19.$ Por lo tanto $m = 190.$

Each crate independently contributes height $3,$ $4,$ or $6,$ each with probability $\frac{1}{3},$ so there are $3^{10}$ equally likely stacks. If $x,$ $y,$ $z$ crates have heights $3,$ $4,$ $6,$ then $x + y + z = 10$ and $3x + 4y + 6z = 41;$ subtracting three times the first equation gives $y + 3z = 11,$ so $\begin{aligned} (x, y, z) &= (1, 8, 1), \\ &\quad (3, 5, 2), \\ &\quad (5, 2, 3). \end{aligned}$

These can be ordered in $\frac{10!}{1!\,8!\,1!} = 90,$ $\frac{10!}{3!\,5!\,2!} = 2520,$ and $\frac{10!}{5!\,2!\,3!} = 2520$ ways, for $5130$ stacks in all. The probability is $\frac{5130}{3^{10}} = \frac{190}{3^7},$ which is in lowest terms since $190 = 2 \cdot 5 \cdot 19.$ Thus $m = 190.$

2008 AIME I Problema 9

Solución:

El Problema 9 en otros años