Question

Los círculos $\mathcal{C}_1$ y $\mathcal{C}_2$ son tangentes exteriormente y ambos son tangentes interiormente al círculo $\mathcal{C}_3.$ Los radios de $\mathcal{C}_1$ y $\mathcal{C}_2$ son $4$ y $10,$ respectivamente, y los centros de los tres círculos son colineales. Una cuerda de $\mathcal{C}_3$ es también una tangente exterior común de $\mathcal{C}_1$ y $\mathcal{C}_2.$ Dado que la longitud de la cuerda es $\frac{m\sqrt{n}}{p},$ donde $m,$ $n$ y $p$ son enteros positivos, $m$ y $p$ son primos entre sí y $n$ no es divisible por el cuadrado de ningún primo, halla $m + n + p.$

Circles $\mathcal{C}_1$ and $\mathcal{C}_2$ are externally tangent, and they are both internally tangent to circle $\mathcal{C}_3.$ The radii of $\mathcal{C}_1$ and $\mathcal{C}_2$ are $4$ and $10,$ respectively, and the centers of the three circles are all collinear. A chord of $\mathcal{C}_3$ is also a common external tangent of $\mathcal{C}_1$ and $\mathcal{C}_2.$ Given that the length of the chord is $\frac{m\sqrt{n}}{p},$ where $m,$ $n,$ and $p$ are positive integers, $m$ and $p$ are relatively prime, and $n$ is not divisible by the square of any prime, find $m + n + p.$

Respuesta

Respuesta: 405

Conceptos:circunferencias tangentes cuerda Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 2710

Pista pequeña:

La tangencia obliga a que $\mathcal{C}_3$ tenga radio $14,$ con su centro sobre el segmento que une los otros dos centros, a $10$ del centro de $\mathcal{C}_1.$

Tangency forces $\mathcal{C}_3$ to have radius $14,$ with its center on the segment joining the other two centers, $10$ from $\mathcal{C}_1$ ’s center

Pista grande:

Las distancias desde los centros colineales a la recta tangente varían linealmente: la del medio es $4 + \frac{10}{14}(10 - 4).$ Luego usa el triángulo rectángulo formado por la mitad de la cuerda.

Distances from the collinear centers to the tangent line vary linearly: the middle one is $4 + \frac{10}{14}(10 - 4).$ Then use the half-chord right triangle.

Solución:

Sean $P_1,$ $P_2$ y $P_3$ los centros de los círculos, y sea $R$ el radio de $\mathcal{C}_3.$ La tangencia exterior da $P_1P_2 = 4 + 10 = 14,$ y la tangencia interior da $P_3P_1 = R - 4$ y $P_3P_2 = R - 10.$ Como los centros son colineales, $(R - 4) + (R - 10) = 14,$ así que $R = 14$ y $P_3$ está sobre $\overline{P_1P_2}$ con $P_3P_1 = 10$ y $P_3P_2 = 4.$

Traza las perpendiculares $P_1X,$ $P_2Y$ y $P_3Z$ a la cuerda, de modo que $P_1X = 4,$ $P_2Y = 10$ y $Z$ es el punto medio de la cuerda. La distancia hasta la recta tangente varía linealmente al desplazarse por $P_1P_2,$ y $P_3$ está a $\frac{10}{14}$ del trayecto desde $P_1$ hasta $P_2,$ así que $P_3Z = 4 + \frac{10}{14}(10 - 4) = \frac{58}{7}.$

La semicuerda es $\sqrt{14^2 - \left(\frac{58}{7}\right)^2}$ $= \frac{\sqrt{9604 - 3364}}{7}$ $= \frac{4\sqrt{390}}{7},$ así que la cuerda tiene longitud $\frac{8\sqrt{390}}{7}.$ Como $390 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 13$ es libre de cuadrados y $\gcd(8, 7) = 1,$ la respuesta es $m + n + p = 8 + 390 + 7 = 405.$

Let $P_1,$ $P_2,$ $P_3$ be the centers of the circles and $R$ the radius of $\mathcal{C}_3.$ External tangency gives $P_1P_2 = 4 + 10 = 14,$ and internal tangency gives $P_3P_1 = R - 4$ and $P_3P_2 = R - 10.$ Since the centers are collinear, $(R - 4) + (R - 10) = 14,$ so $R = 14$ and $P_3$ lies on $\overline{P_1P_2}$ with $P_3P_1 = 10$ and $P_3P_2 = 4.$

Drop perpendiculars $P_1X,$ $P_2Y,$ $P_3Z$ to the chord, so $P_1X = 4,$ $P_2Y = 10,$ and $Z$ is the midpoint of the chord. The distance from a point moving along line $P_1P_2$ to the tangent line changes linearly, and $P_3$ is $\frac{10}{14}$ of the way from $P_1$ to $P_2,$ so $P_3Z = 4 + \frac{10}{14}(10 - 4) = \frac{58}{7}.$

The half-chord is $\sqrt{14^2 - \left(\frac{58}{7}\right)^2}$ $= \frac{\sqrt{9604 - 3364}}{7}$ $= \frac{4\sqrt{390}}{7},$ so the chord has length $\frac{8\sqrt{390}}{7}.$ Since $390 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 13$ is squarefree and $\gcd(8, 7) = 1,$ the answer is $m + n + p = 8 + 390 + 7 = 405.$

2005 AIME II Problema 8

Respuesta: 405

Nivel de dificultad: 2710

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 8 en otros años