Question

Para una permutación $p = (a_1, a_2, \ldots, a_9)$ de los dígitos $1, 2, \ldots, 9,$ sea $s(p)$ la suma de los tres números de $3$ dígitos $a_1a_2a_3,$ $a_4a_5a_6,$ y $a_7a_8a_9.$ Sea $m$ el valor mínimo de $s(p)$ sujeto a la condición de que el dígito de las unidades de $s(p)$ sea $0.$ Sea $n$ el número de permutaciones $p$ con $s(p) = m.$ Halla $|m - n|.$

For a permutation $p = (a_1, a_2, \ldots, a_9)$ of the digits $1, 2, \ldots, 9,$ let $s(p)$ denote the sum of the three $3$ -digit numbers $a_1a_2a_3,$ $a_4a_5a_6,$ and $a_7a_8a_9.$ Let $m$ be the minimum value of $s(p)$ subject to the condition that the units digit of $s(p)$ is $0.$ Let $n$ denote the number of permutations $p$ with $s(p) = m.$ Find $|m - n|.$

Respuesta

Solución:

Por valor posicional, $s(p) = 100(a_1 + a_4 + a_7)$ $+ 10(a_2 + a_5 + a_8)$ $+ (a_3 + a_6 + a_9),$ y los nueve dígitos suman $45.$ El dígito de las unidades de $s(p)$ es $0$ exactamente cuando $a_3 + a_6 + a_9 = 10$ o $20.$ Escribiendo $X = a_1 + a_4 + a_7,$ si la columna de unidades suma $10$ entonces $s(p) = 100X + 10(35 - X) + 10$ $= 90X + 360 \ge 900,$ mientras que si suma $20$ entonces $s(p) = 90X + 270$ $\ge 90 \cdot 6 + 270 = 810.$ Así que $m = 810,$ alcanzado exactamente cuando $\{a_1, a_4, a_7\} = \{1, 2, 3\}$ y los dígitos de las unidades suman $20.$

Los dígitos restantes $\{4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ deben dividirse de modo que la terna de unidades sume $20:$ las posibilidades son $\{4, 7, 9\},$ $\{5, 6, 9\},$ y $\{5, 7, 8\}.$ Cada una de las $3$ divisiones permite $3! \cdot 3! \cdot 3! = 216$ disposiciones de las tres columnas, así que $n = 3 \cdot 216 = 648.$

Por lo tanto $|m - n| = |810 - 648| = 162.$

By place value, $s(p) = 100(a_1 + a_4 + a_7)$ $+ 10(a_2 + a_5 + a_8)$ $+ (a_3 + a_6 + a_9),$ and all nine digits sum to $45.$ The units digit of $s(p)$ is $0$ exactly when $a_3 + a_6 + a_9 = 10$ or $20.$ Writing $X = a_1 + a_4 + a_7,$ if the units column sums to $10$ then $s(p) = 100X + 10(35 - X) + 10$ $= 90X + 360 \ge 900,$ while if it sums to $20$ then $s(p) = 90X + 270$ $\ge 90 \cdot 6 + 270 = 810.$ So $m = 810,$ achieved exactly when $\{a_1, a_4, a_7\} = \{1, 2, 3\}$ and the units digits sum to $20.$

The remaining digits $\{4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ must split so the units triple sums to $20:$ the possibilities are $\{4, 7, 9\},$ $\{5, 6, 9\},$ and $\{5, 7, 8\}.$ Each of the $3$ splits allows $3! \cdot 3! \cdot 3! = 216$ arrangements of the three columns, so $n = 3 \cdot 216 = 648.$

Therefore $|m - n| = |810 - 648| = 162.$

2016 AIME I Problema 8

Solución:

El Problema 8 en otros años