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2022 AIME I Problema 8

Intenta el Problema 8 del 2022 AIME I a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2022 AIME I, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

8.

El triángulo equilátero △ABC\triangle ABC está inscrito en la circunferencia ω\omega de radio 18.18. La circunferencia ωA\omega_A es tangente a los lados AB‾\overline{AB} y AC‾\overline{AC} y es tangente internamente a ω.\omega. Las circunferencias ωB\omega_B y ωC\omega_C se definen de manera análoga. Las circunferencias ωA,\omega_A, ωB,\omega_B, y ωC\omega_C se cortan en seis puntos, dos puntos por cada par de circunferencias. Los tres puntos de intersección más cercanos a los vértices de △ABC\triangle ABC son los vértices de un triángulo equilátero grande en el interior de △ABC,\triangle ABC, y los otros tres puntos de intersección son los vértices de un triángulo equilátero más pequeño en el interior de △ABC.\triangle ABC. La longitud del lado del triángulo equilátero más pequeño puede escribirse como a−b,\sqrt{a} - \sqrt{b}, donde aa y bb son enteros positivos. Halla a+b.a + b.
Equilateral triangle △ABC\triangle ABC is inscribed in circle ω\omega with radius 18.18. Circle ωA\omega_A is tangent to sides AB‾\overline{AB} and AC‾\overline{AC} and is internally tangent to ω.\omega. Circles ωB\omega_B and ωC\omega_C are defined analogously. Circles ωA,\omega_A, ωB,\omega_B, and ωC\omega_C meet in six points — two points for each pair of circles. The three intersection points closest to the vertices of △ABC\triangle ABC are the vertices of a large equilateral triangle in the interior of △ABC,\triangle ABC, and the other three intersection points are the vertices of a smaller equilateral triangle in the interior of △ABC.\triangle ABC. The side length of the smaller equilateral triangle can be written as a−b,\sqrt{a} - \sqrt{b}, where aa and bb are positive integers. Find a+b.a + b.
Respuesta: 378
Conceptos:circunferencias tangentestriángulo equiláterogeometría analítica
Nivel de dificultad: 2710
Pista pequeña:
Halla ωA\omega_A primero: su centro está sobre la recta AO,AO, su radio es la mitad de su distancia a A,A, y la tangencia interna a ω\omega fija todo
Find ωA\omega_A first: its center lies on line AO,AO, its radius is half its distance from A,A, and internal tangency to ω\omega fixes everything
Pista grande:
Los dos puntos de intersección de ωB\omega_B y ωC\omega_C están sobre la recta AO,AO, y el circunradio de cada triángulo es la distancia de ese punto al centro OO
The two intersection points of ωB\omega_B and ωC\omega_C lie on line AO,AO, and each triangle’s circumradius is the distance from that point to the center OO
Solución:
Sea OO el centro de ω.\omega. El centro de ωA\omega_A está sobre la recta AOAO (la bisectriz de ∠A\angle A) a cierta distancia dd de A;A; como AB‾\overline{AB} forma un ángulo de 30∘30^\circ con AO,AO, el radio es r=dsin⁡30∘=d2.r = d \sin 30^\circ = \frac{d}{2}. La tangencia interna a ω\omega exige que el centro esté a 18−r18 - r de O,O, lo que obliga al centro a pasar más allá de O:O: d−18=18−d2,d - 18 = 18 - \frac{d}{2}, así que d=24,d = 24, r=12,r = 12, y el centro está 66 más allá de O.O.
Coloca OO en el origen con A=(0,18).A = (0, 18). Entonces los tres centros son OA=(0,−6)O_A = (0, -6) y OB,OC=(±33,3),O_B, O_C = (\pm 3\sqrt{3}, 3), todos con radio 12.12. Las intersecciones de ωB\omega_B y ωC\omega_C están sobre el eje yy: 27+(y−3)2=14427 + (y - 3)^2 = 144 da y=3±117.y = 3 \pm \sqrt{117}. El punto (0,3+117)(0, 3 + \sqrt{117}) está más cerca de AA y pertenece al triángulo más grande, así que el triángulo más pequeño tiene el vértice (0,3−117),(0, 3 - \sqrt{117}), a distancia 117−3\sqrt{117} - 3 de O.O.
Por simetría, el triángulo más pequeño es equilátero con circunradio 117−3,\sqrt{117} - 3, así que su lado es 3(117−3)=351−27.\sqrt{3}\left(\sqrt{117} - 3\right) = \sqrt{351} - \sqrt{27}. Por lo tanto a+b=351+27=378.a + b = 351 + 27 = 378.
Let OO be the center of ω.\omega. The center of ωA\omega_A lies on line AOAO (the bisector of ∠A\angle A) at some distance dd from A;A; since AB‾\overline{AB} makes a 30∘30^\circ angle with AO,AO, the radius is r=dsin⁡30∘=d2.r = d \sin 30^\circ = \frac{d}{2}. Internal tangency to ω\omega requires the center to be 18−r18 - r from O,O, which forces the center past O:O: d−18=18−d2,d - 18 = 18 - \frac{d}{2}, so d=24,d = 24, r=12,r = 12, and the center is 66 beyond O.O.
Place OO at the origin with A=(0,18).A = (0, 18). Then the three centers are OA=(0,−6)O_A = (0, -6) and OB,OC=(±33,3),O_B, O_C = (\pm 3\sqrt{3}, 3), all with radius 12.12. The intersections of ωB\omega_B and ωC\omega_C lie on the yy-axis: 27+(y−3)2=14427 + (y - 3)^2 = 144 gives y=3±117.y = 3 \pm \sqrt{117}. The point (0,3+117)(0, 3 + \sqrt{117}) is closer to AA and belongs to the larger triangle, so the smaller triangle has vertex (0,3−117),(0, 3 - \sqrt{117}), at distance 117−3\sqrt{117} - 3 from O.O.
By symmetry the smaller triangle is equilateral with circumradius 117−3,\sqrt{117} - 3, so its side is 3(117−3)=351−27.\sqrt{3}\left(\sqrt{117} - 3\right) = \sqrt{351} - \sqrt{27}. Thus a+b=351+27=378.a + b = 351 + 27 = 378.
Problema 7#7
Examen completo
Problema 9#9

El Problema 8 en otros años

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