Solución:

Calculando términos, $a_3 = 1000 - x$, $a_4 = 2x - 1000$, $a_5 = 2000 - 3x$, $a_6 = 5x - 3000$, y en general $$\begin{aligned} a_{2k+1} &= 1000 F_{2k-1} - x F_{2k}, \\ a_{2k+2} &= x F_{2k+1} - 1000 F_{2k}, \end{aligned}$$ donde $F_1 = F_2 = 1$, $F_3 = 2, \ldots$ son los números de Fibonacci. La sucesión continúa exactamente mientras sus términos permanezcan no negativos, así que una sucesión larga requiere que $\frac{x}{1000}$ quede encajado entre las razones $\frac{F_{2k}}{F_{2k+1}}$ y $\frac{F_{2k-1}}{F_{2k}}$ para $k$ cada vez mayores.

Para que los primeros $13$ términos sean no negativos necesitamos $a_{12} = 89x - 55000 \ge 0$ y $a_{13} = 89000 - 144x \ge 0$, es decir $617.9\ldots \le x \le 618.05\ldots$, así que $x = 618$. Si $x \le 617$, la sucesión se vuelve negativa en $a_{12}$, y si $x \ge 619$ se vuelve negativa en $a_{13}$, así que cualquier otro entero da una sucesión más corta.

En efecto, $x = 618$ produce $1000, 618, 382, 236, 146$, $90, 56, 34, 22, 12$, $10, 2, 8, -6$, una sucesión de $14$ términos, la máxima posible. La respuesta es $618$.