Question

Sea $\begin{aligned} x &= \scriptsize \frac{4}{(\sqrt{5} + 1)(\sqrt[4]{5} + 1)(\sqrt[8]{5} + 1)(\sqrt[16]{5} + 1)}. \end{aligned}$ Halla $(x + 1)^{48}.$

Let $\begin{aligned} x &= \scriptsize \frac{4}{(\sqrt{5} + 1)(\sqrt[4]{5} + 1)(\sqrt[8]{5} + 1)(\sqrt[16]{5} + 1)}. \end{aligned}$ Find $(x + 1)^{48}.$

Respuesta

Respuesta: 125

Conceptos:telescópica diferencia de cuadrados radical

Nivel de dificultad: 2340

Pista pequeña:

Pon $y = \sqrt[16]{5}$ y multiplica el numerador y el denominador por $y - 1.$

Let $y = \sqrt[16]{5}$ and multiply the numerator and denominator by $y - 1$

Pista grande:

La aplicación repetida de la diferencia de cuadrados simplifica el denominador a $y^{16} - 1 = 4.$

Repeated difference of squares collapses the denominator to $y^{16} - 1 = 4$

Solución:

Sea $y = \sqrt[16]{5}.$ Al multiplicar el numerador y el denominador por $y - 1,$ las aplicaciones sucesivas de la diferencia de cuadrados producen cancelación telescópica en el denominador: $\begin{aligned} x &= \scriptsize \frac{4(y-1)}{(y^8+1)(y^4+1)(y^2+1)(y+1)(y-1)} \\ &= \frac{4(y-1)}{y^{16} - 1} \\ &= \frac{4(y-1)}{4} \\ &= y - 1. \end{aligned}$

Por lo tanto $x + 1 = y = 5^{\frac{1}{16}},$ y $(x+1)^{48} = 5^{\frac{48}{16}} = 5^3 = 125.$

Let $y = \sqrt[16]{5}.$ Multiplying the numerator and denominator by $y - 1$ telescopes the denominator by repeated difference of squares: $\begin{aligned} x &= \scriptsize \frac{4(y-1)}{(y^8+1)(y^4+1)(y^2+1)(y+1)(y-1)} \\ &= \frac{4(y-1)}{y^{16} - 1} \\ &= \frac{4(y-1)}{4} \\ &= y - 1. \end{aligned}$

Hence $x + 1 = y = 5^{\frac{1}{16}},$ and $(x+1)^{48} = 5^{\frac{48}{16}} = 5^3 = 125.$

2005 AIME II Problema 7

Respuesta: 125

Nivel de dificultad: 2340

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 7 en otros años