Question

Sea $\begin{aligned} x &= \scriptsize \frac{4}{(\sqrt{5} + 1)(\sqrt[4]{5} + 1)(\sqrt[8]{5} + 1)(\sqrt[16]{5} + 1)}. \end{aligned}$ Halla $(x + 1)^{48}$ .

Let $\begin{aligned} x &= \scriptsize \frac{4}{(\sqrt{5} + 1)(\sqrt[4]{5} + 1)(\sqrt[8]{5} + 1)(\sqrt[16]{5} + 1)}. \end{aligned}$ Find $(x + 1)^{48}.$

Respuesta

Solución:

Sea $y = \sqrt[16]{5}$ . Multiplicar el numerador y el denominador por $y - 1$ hace que el denominador se telescope por diferencias de cuadrados repetidas: $\begin{aligned} x &= \scriptsize \frac{4(y-1)}{(y^8+1)(y^4+1)(y^2+1)(y+1)(y-1)} \\ &= \frac{4(y-1)}{y^{16} - 1} \\ &= \frac{4(y-1)}{4} \\ &= y - 1. \end{aligned}$

Por lo tanto $x + 1 = y = 5^{1/16}$ , y $(x+1)^{48} = 5^{48/16} = 5^3 = 125$ .

Let $y = \sqrt[16]{5}.$ Multiplying the numerator and denominator by $y - 1$ telescopes the denominator by repeated difference of squares: $\begin{aligned} x &= \scriptsize \frac{4(y-1)}{(y^8+1)(y^4+1)(y^2+1)(y+1)(y-1)} \\ &= \frac{4(y-1)}{y^{16} - 1} \\ &= \frac{4(y-1)}{4} \\ &= y - 1. \end{aligned}$

Hence $x + 1 = y = 5^{1/16},$ and $(x+1)^{48} = 5^{48/16} = 5^3 = 125.$

2005 AIME II Problema 7

Solución:

El Problema 7 en otros años