Question

Halle el número de valores enteros de $k$ en el intervalo cerrado $[-500, 500]$ para los cuales la ecuación $\log(kx) = 2\log(x + 2)$ tiene exactamente una solución real.

Find the number of integer values of $k$ in the closed interval $[-500, 500]$ for which the equation $\log(kx) = 2\log(x + 2)$ has exactly one real solution.

Respuesta

Solución:

La ecuación requiere $x + 2 \gt 0$ y $kx \gt 0,$ y bajo esas restricciones es equivalente a $kx = (x + 2)^2,$ es decir, $x^2 + (4 - k)x + 4 = 0.$

Para $k \lt 0$ las restricciones fuerzan $-2 \lt x \lt 0.$ En este intervalo $kx$ decrece de $-2k \gt 0$ a $0$ mientras que $(x + 2)^2$ crece de $0$ a $4,$ así que las gráficas se cruzan exactamente una vez. Por lo tanto cada uno de los $500$ valores negativos de $k$ funciona, mientras que $k = 0$ hace que $\log(kx)$ no esté definido.

Para $k \gt 0$ las restricciones fuerzan $x \gt 0.$ La cuadrática tiene producto de raíces $4,$ así que cualquier raíz real tiene el mismo signo, y el discriminante $(4 - k)^2 - 16 = k(k - 8)$ es negativo para $0 \lt k \lt 8.$ Cuando $k \gt 8$ hay dos raíces positivas distintas (suma de raíces $k - 4 \gt 0$ ), dando dos soluciones; solo $k = 8$ da exactamente una solución, la raíz doble $x = 2.$ En total $500 + 1 = 501$ valores de $k$ funcionan.

The equation requires $x + 2 \gt 0$ and $kx \gt 0,$ and under those restrictions it is equivalent to $kx = (x + 2)^2,$ that is, $x^2 + (4 - k)x + 4 = 0.$

For $k \lt 0$ the restrictions force $-2 \lt x \lt 0.$ On this interval $kx$ decreases from $-2k \gt 0$ to $0$ while $(x + 2)^2$ increases from $0$ to $4,$ so the graphs cross exactly once. Hence every one of the $500$ negative values of $k$ works, while $k = 0$ makes $\log(kx)$ undefined.

For $k \gt 0$ the restrictions force $x \gt 0.$ The quadratic has root product $4,$ so any real roots have the same sign, and the discriminant $(4 - k)^2 - 16 = k(k - 8)$ is negative for $0 \lt k \lt 8.$ When $k \gt 8$ there are two distinct positive roots (root sum $k - 4 \gt 0$ ), giving two solutions; only $k = 8$ gives exactly one solution, the double root $x = 2.$ In total $500 + 1 = 501$ values of $k$ work.

2017 AIME II Problema 7

Solución:

El Problema 7 en otros años