Question

Sea $A$ el conjunto de divisores enteros positivos de $2025.$ Sea $B$ un subconjunto de $A$ seleccionado al azar. La probabilidad de que $B$ sea un conjunto no vacío con la propiedad de que el mínimo común múltiplo de sus elementos sea $2025$ es $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m + n.$

Let $A$ be the set of positive integer divisors of $2025.$ Let $B$ be a randomly selected subset of $A.$ The probability that $B$ is a nonempty set with the property that the least common multiple of its elements is $2025$ is $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Respuesta: 237

Conceptos:mínimo común múltiplo inclusión-exclusión subconjuntos

Nivel de dificultad: 2510

Pista pequeña:

$2025 = 3^4 \cdot 5^2$ tiene $15$ divisores; el mcm es $2025$ exactamente cuando el subconjunto contiene un múltiplo de $81$ y un múltiplo de $25$

$2025 = 3^4 \cdot 5^2$ has $15$ divisors; the lcm is $2025$ exactly when the subset contains a multiple of $81$ and a multiple of $25$

Pista grande:

Usa inclusión-exclusión: $2^{12}$ subconjuntos evitan los tres múltiplos de $81,$ y $2^{10}$ evitan los cinco múltiplos de $25$

Use inclusion-exclusion: $2^{12}$ subsets avoid all three multiples of $81,$ and $2^{10}$ avoid all five multiples of $25$

Solución:

Como $2025 = 3^4 \cdot 5^2,$ el conjunto $A$ tiene $5 \cdot 3 = 15$ elementos, y hay $2^{15}$ subconjuntos. Un subconjunto tiene mínimo común múltiplo $2025$ exactamente cuando contiene al menos un divisor divisible por $3^4 = 81$ y al menos uno divisible por $5^2 = 25$ (tal subconjunto es automáticamente no vacío). Hay $12$ divisores no divisibles por $81,$ $10$ no divisibles por $25,$ y $8$ divisibles por ninguno.

Por inclusión-exclusión, el número de subconjuntos válidos es $\begin{gathered} 2^{15} - 2^{12} - 2^{10} + 2^8 \\ = 32768 - 4096 - 1024 + 256 \\ = 27904. \end{gathered}$ Como $27904 = 2^8 \cdot 109,$ la probabilidad es $\frac{27904}{32768} = \frac{109}{128},$ y $m + n = 109 + 128 = 237.$

Since $2025 = 3^4 \cdot 5^2,$ the set $A$ has $5 \cdot 3 = 15$ elements, and there are $2^{15}$ subsets. A subset has least common multiple $2025$ exactly when it contains at least one divisor divisible by $3^4 = 81$ and at least one divisible by $5^2 = 25$ (such a subset is automatically nonempty). There are $12$ divisors not divisible by $81,$ $10$ not divisible by $25,$ and $8$ divisible by neither.

By inclusion-exclusion, the number of good subsets is $\begin{gathered} 2^{15} - 2^{12} - 2^{10} + 2^8 \\ = 32768 - 4096 - 1024 + 256 \\ = 27904. \end{gathered}$ Since $27904 = 2^8 \cdot 109,$ the probability is $\frac{27904}{32768} = \frac{109}{128},$ and $m + n = 109 + 128 = 237.$

2025 AIME II Problema 7

Respuesta: 237

Nivel de dificultad: 2510

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 7 en otros años