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2021 AIME II Problema 7

Intenta el Problema 7 del 2021 AIME II a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2021 AIME II, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

7.

Sean a,a, b,b, c,c, y dd números reales que satisfacen el sistema de ecuaciones a+b=−3,ab+bc+ca=−4, \begin{aligned} a + b &= -3, \\ ab + bc + ca &= -4, \end{aligned} abc+bcd+cda+dab=14,abcd=30. \begin{aligned} abc + bcd + cda + dab &= 14, \\ abcd &= 30. \end{aligned} Existen enteros positivos primos entre sí mm y nn tales que a2+b2+c2+d2=mn.a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = \frac{m}{n}. Halle m+n.m + n.
Let a,a, b,b, c,c, and dd be real numbers that satisfy the system of equations a+b=−3,ab+bc+ca=−4, \begin{aligned} a + b &= -3, \\ ab + bc + ca &= -4, \end{aligned} abc+bcd+cda+dab=14,abcd=30. \begin{aligned} abc + bcd + cda + dab &= 14, \\ abcd &= 30. \end{aligned} There exist relatively prime positive integers mm and nn such that a2+b2+c2+d2=mn.a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = \frac{m}{n}. Find m+n.m + n.
Respuesta: 145
Conceptos:sistema de ecuacionessimetría (álgebra)factorización
Nivel de dificultad: 2650
Pista pequeña:
La segunda ecuación es ab+c(a+b)=−4,ab + c(a + b) = -4, lo que da ab=3c−4;ab = 3c - 4; agrupe la tercera como ab(c+d)+cd(a+b)=14ab(c + d) + cd(a + b) = 14
The second equation is ab+c(a+b)=−4,ab + c(a + b) = -4, giving ab=3c−4;ab = 3c - 4; group the third as ab(c+d)+cd(a+b)=14ab(c + d) + cd(a + b) = 14
Pista grande:
Eliminando dd y cdcd queda una cuártica en cc cuyas raíces reales son −2-2 y 103;\frac{10}{3}; una de ellas hace que aa y bb no sean reales
Eliminating dd and cdcd leaves a quartic in cc whose real roots are −2-2 and 103;\frac{10}{3}; one of them makes aa and bb non-real
Solución:
Como a+b=−3,a + b = -3, la segunda ecuación se lee ab+c(a+b)=ab−3c=−4,ab + c(a + b) = ab - 3c = -4, así que ab=3c−4.ab = 3c - 4. Agrupar la tercera ecuación como ab(c+d)+cd(a+b)=14ab(c + d) + cd(a + b) = 14 da (3c−4)(c+d)−3cd=14,(3c - 4)(c + d) - 3cd = 14, que se simplifica a 3c2−4c−4d=14,3c^2 - 4c - 4d = 14, así que d=3c2−4c−144.d = \frac{3c^2 - 4c - 14}{4}. La cuarta ecuación se convierte en (3c−4) cd=30.(3c - 4)\,cd = 30.
Sustituyendo dd se obtiene c(3c−4)(3c2−4c−14)=120,c(3c - 4)(3c^2 - 4c - 14) = 120, es decir, 9c4−24c3−26c2+56c−120=(c+2)(3c−10)⋅(3c2−4c+6)=0. \begin{aligned} &9c^4 - 24c^3 - 26c^2 \\ &\quad {}+ 56c - 120 \\ &= (c + 2)(3c - 10) \\ &\quad {}\cdot (3c^2 - 4c + 6) \\ &= 0. \end{aligned} El factor cuadrático tiene discriminante negativo, así que c=−2c = -2 o c=103.c = \frac{10}{3}. Si c=103,c = \frac{10}{3}, entonces ab=6ab = 6 con a+b=−3,a + b = -3, imposible para a,ba, b reales, ya que 9−24<0.9 - 24 \lt 0. Por lo tanto c=−2,c = -2, lo que da ab=−10ab = -10 y d=12+8−144=32.d = \frac{12 + 8 - 14}{4} = \frac{3}{2}.
Entonces a2+b2a^2 + b^2 =(a+b)2−2ab= (a + b)^2 - 2ab =9+20=29= 9 + 20 = 29 y c2+d2=4+94=254,c^2 + d^2 = 4 + \frac{9}{4} = \frac{25}{4}, así que a2+b2+c2+d2=1414a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = \frac{141}{4} y m+n=141+4=145.m + n = 141 + 4 = 145.
Since a+b=−3,a + b = -3, the second equation reads ab+c(a+b)=ab−3c=−4,ab + c(a + b) = ab - 3c = -4, so ab=3c−4.ab = 3c - 4. Grouping the third equation as ab(c+d)+cd(a+b)=14ab(c + d) + cd(a + b) = 14 gives (3c−4)(c+d)−3cd=14,(3c - 4)(c + d) - 3cd = 14, which simplifies to 3c2−4c−4d=14,3c^2 - 4c - 4d = 14, so d=3c2−4c−144.d = \frac{3c^2 - 4c - 14}{4}. The fourth equation becomes (3c−4) cd=30.(3c - 4)\,cd = 30.
Substituting for dd yields c(3c−4)(3c2−4c−14)=120,c(3c - 4)(3c^2 - 4c - 14) = 120, i.e. 9c4−24c3−26c2+56c−120=(c+2)(3c−10)⋅(3c2−4c+6)=0. \begin{aligned} &9c^4 - 24c^3 - 26c^2 \\ &\quad {}+ 56c - 120 \\ &= (c + 2)(3c - 10) \\ &\quad {}\cdot (3c^2 - 4c + 6) \\ &= 0. \end{aligned} The quadratic factor has negative discriminant, so c=−2c = -2 or c=103.c = \frac{10}{3}. If c=103,c = \frac{10}{3}, then ab=6ab = 6 with a+b=−3,a + b = -3, impossible for real a,ba, b since 9−24<0.9 - 24 \lt 0. So c=−2,c = -2, giving ab=−10ab = -10 and d=12+8−144=32.d = \frac{12 + 8 - 14}{4} = \frac{3}{2}.
Then a2+b2a^2 + b^2 =(a+b)2−2ab= (a + b)^2 - 2ab =9+20=29= 9 + 20 = 29 and c2+d2=4+94=254,c^2 + d^2 = 4 + \frac{9}{4} = \frac{25}{4}, so a2+b2+c2+d2=1414a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = \frac{141}{4} and m+n=141+4=145.m + n = 141 + 4 = 145.
Problema 6#6
Examen completo
Problema 8#8

El Problema 7 en otros años

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