Soluciones del 2021 AIME II | LIVE by Po-Shen Loh

1.

Halle la media aritmética de todos los palíndromos de tres dígitos. (Recuerde que un palíndromo es un número que se lee igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda, como $777$ o $383.$ )

Find the arithmetic mean of all the three-digit palindromes. (Recall that a palindrome is a number that reads the same forward and backward, such as $777$ or $383.$ )

Respuesta

Conceptos:palíndromo valor posicional media

Nivel de dificultad: 1700

Pista pequeña:

Un palíndromo de tres dígitos tiene la forma $\overline{aba} = 101a + 10b$

A three-digit palindrome has the form $\overline{aba} = 101a + 10b$

Pista grande:

Los dígitos $a$ y $b$ varían de forma independiente, así que puede reemplazar cada dígito por su valor promedio dentro de su rango

The digits $a$ and $b$ range independently, so you may replace each digit by its average value over its range

Solución:

Un palíndromo de tres dígitos tiene la forma $\overline{aba} = 101a + 10b$ , con $a \in \{1, \ldots, 9\}$ y $b \in \{0, \ldots, 9\},$ y cada par de dígitos de este tipo aparece exactamente una vez, de modo que los dos dígitos varían de forma independiente a lo largo de los $90$ palíndromos.

Por linealidad, la media es $101$ veces el promedio de $a$ más $10$ veces el promedio de $b,$ es decir, $\begin{aligned} &101 \cdot 5 \\ &\quad {}+ 10 \cdot \frac{9}{2} = 505 + 45 = 550. \end{aligned}$

A three-digit palindrome has the form $\overline{aba} = 101a + 10b$ with $a \in \{1, \ldots, 9\}$ and $b \in \{0, \ldots, 9\},$ and every such pair of digits occurs exactly once, so the two digits vary independently over the $90$ palindromes.

By linearity, the mean is $101$ times the average of $a$ plus $10$ times the average of $b,$ namely $\begin{aligned} &101 \cdot 5 \\ &\quad {}+ 10 \cdot \frac{9}{2} = 505 + 45 = 550. \end{aligned}$

2.

El triángulo equilátero $ABC$ tiene longitud de lado $840.$ El punto $D$ está en el mismo lado de la recta $BC$ que $A$ , de modo que $\overline{BD} \perp \overline{BC}.$ La recta $\ell$ que pasa por $D$ paralela a la recta $BC$ corta a los lados $\overline{AB}$ y $\overline{AC}$ en los puntos $E$ y $F,$ respectivamente. El punto $G$ está sobre $\ell$ de modo que $F$ queda entre $E$ y $G,$ $\triangle AFG$ es isósceles, y la razón entre el área de $\triangle AFG$ y el área de $\triangle BED$ es $8 : 9.$ Halle $AF.$

Equilateral triangle $ABC$ has side length $840.$ Point $D$ lies on the same side of line $BC$ as $A$ such that $\overline{BD} \perp \overline{BC}.$ The line $\ell$ through $D$ parallel to line $BC$ intersects sides $\overline{AB}$ and $\overline{AC}$ at points $E$ and $F,$ respectively. Point $G$ lies on $\ell$ such that $F$ is between $E$ and $G,$ $\triangle AFG$ is isosceles, and the ratio of the area of $\triangle AFG$ to the area of $\triangle BED$ is $8 : 9.$ Find $AF.$

Respuesta

Conceptos:triángulo equilátero área del triángulo razón de áreas

Nivel de dificultad: 2460

Pista pequeña:

El triángulo $AEF$ es equilátero de lado $AF,$ y $BD$ es igual a la distancia entre las rectas paralelas $\ell$ y $BC$

Triangle $AEF$ is equilateral with side $AF,$ and $BD$ equals the distance between the parallel lines $\ell$ and $BC$

Pista grande:

$\angle AFG = 120^\circ,$ así que la condición de isósceles obliga a $FA = FG.$ Exprese ambas áreas en términos de $AF$ y la altura $BD.$

$\angle AFG = 120^\circ,$ so isosceles forces $FA = FG.$ Express both areas in terms of $AF$ and the height $BD.$

Solución:

Como $\ell \parallel BC,$ el triángulo $AEF$ es equilátero; sea $s = AF = EF.$ La distancia entre $\ell$ y $BC$ es la altura de $ABC$ menos la altura de $AEF,$ de modo que $BD = \frac{\sqrt{3}}{2}(840 - s);$ escribimos $h = BD.$

En el triángulo $BED,$ la base $\overline{BD}$ es perpendicular a $BC$ y tiene longitud $h,$ mientras que $E$ está a distancia horizontal $\frac{h}{\sqrt{3}}$ de la recta $BD$ porque $\angle EBC = 60^\circ.$ Por lo tanto $[BED] = \frac{h^2}{2\sqrt{3}}.$ Además $\angle AFG = 180^\circ - \angle AFE$ $= 120^\circ,$ y un triángulo isósceles con un ángulo de $120^\circ$ debe tenerlo como ángulo del vértice, así que $FA = FG = s$ y $[AFG] = \frac{1}{2}s^2 \sin 120^\circ = \frac{\sqrt{3}}{4}s^2.$

La condición de la razón da $\begin{aligned} \frac{[AFG]}{[BED]} &= \frac{\frac{\sqrt{3}s^2}{4}}{\frac{h^2}{2\sqrt{3}}} \\ &= \frac{3}{2} \cdot \frac{s^2}{h^2} = \frac{8}{9}, \end{aligned}$ de modo que $\frac{s}{h} = \frac{4}{3\sqrt{3}}.$ Sustituyendo $h = \frac{\sqrt{3}}{2}(840 - s)$ se obtiene $s = \frac{2}{3}(840 - s),$ así que $5s = 1680$ y $AF = 336.$

Since $\ell \parallel BC,$ triangle $AEF$ is equilateral; let $s = AF = EF.$ The distance between $\ell$ and $BC$ is the height of $ABC$ minus the height of $AEF,$ so $BD = \frac{\sqrt{3}}{2}(840 - s);$ write $h = BD.$

In triangle $BED,$ the base $\overline{BD}$ is perpendicular to $BC$ and has length $h,$ while $E$ lies at horizontal distance $\frac{h}{\sqrt{3}}$ from line $BD$ because $\angle EBC = 60^\circ.$ Hence $[BED] = \frac{h^2}{2\sqrt{3}}.$ Also $\angle AFG = 180^\circ - \angle AFE$ $= 120^\circ,$ and an isosceles triangle with a $120^\circ$ angle must have it as the apex angle, so $FA = FG = s$ and $[AFG] = \frac{1}{2}s^2 \sin 120^\circ = \frac{\sqrt{3}}{4}s^2.$

The ratio condition gives $\begin{aligned} \frac{[AFG]}{[BED]} &= \frac{\frac{\sqrt{3}s^2}{4}}{\frac{h^2}{2\sqrt{3}}} \\ &= \frac{3}{2} \cdot \frac{s^2}{h^2} = \frac{8}{9}, \end{aligned}$ so $\frac{s}{h} = \frac{4}{3\sqrt{3}}.$ Substituting $h = \frac{\sqrt{3}}{2}(840 - s)$ yields $s = \frac{2}{3}(840 - s),$ so $5s = 1680$ and $AF = 336.$

3.

Halle el número de permutaciones $x_1,$ $x_2,$ $x_3,$ $x_4,$ $x_5$ de los números $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ $5$ tales que la suma de los cinco productos $\begin{aligned} &x_1x_2x_3 + x_2x_3x_4 \\ &\quad {}+ x_3x_4x_5 + x_4x_5x_1 \\ &\quad {}+ x_5x_1x_2 \end{aligned}$ sea divisible por $3.$

Find the number of permutations $x_1,$ $x_2,$ $x_3,$ $x_4,$ $x_5$ of numbers $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ $5$ such that the sum of five products $\begin{aligned} &x_1x_2x_3 + x_2x_3x_4 \\ &\quad {}+ x_3x_4x_5 + x_4x_5x_1 \\ &\quad {}+ x_5x_1x_2 \end{aligned}$ is divisible by $3.$

Respuesta

Conceptos:aritmética modular permutaciones análisis por casos

Nivel de dificultad: 2350

Pista pequeña:

Trabaje módulo $3:$ todo producto que contenga el valor $3$ se anula, así que solo dos de los cinco productos sobreviven

Work modulo $3:$ every product containing the value $3$ vanishes, so only two of the five products survive

Pista grande:

Si $x_i = 3,$ la suma se reduce a $x_{i+2}x_{i+3}(x_{i+1} + x_{i+4}),$ así que se necesita $x_{i+1} + x_{i+4} \equiv 0 \pmod 3$

If $x_i = 3,$ the sum reduces to $x_{i+2}x_{i+3}(x_{i+1} + x_{i+4}),$ so you need $x_{i+1} + x_{i+4} \equiv 0 \pmod 3$

Solución:

Trabajamos módulo $3.$ El valor $3$ es el único múltiplo de $3,$ y cada uno de los cinco productos cubre tres posiciones cíclicamente consecutivas, así que si $x_i = 3$ , exactamente dos productos evitan la posición $i:$ los que cubren las posiciones $i+1, i+2, i+3$ y $i+2, i+3, i+4$ (índices módulo $5$ ). Su suma es $x_{i+2}x_{i+3}(x_{i+1} + x_{i+4}),$ y como $x_{i+2}x_{i+3}$ no es divisible por $3,$ la condición es $x_{i+1} + x_{i+4} \equiv 0 \pmod 3.$

Entre los valores restantes, $1$ y $4$ son $\equiv 1$ , mientras que $2$ y $5$ son $\equiv 2 \pmod 3,$ así que las posiciones $i+1$ y $i+4$ deben tomar un valor de cada clase: $2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$ elecciones ordenadas. Los otros dos valores llenan las posiciones $i+2$ y $i+3$ de $2$ maneras. Con $5$ elecciones para la posición del $3,$ el conteo es $5 \cdot 8 \cdot 2 = 80.$

Work modulo $3.$ The value $3$ is the only multiple of $3,$ and each of the five products covers three cyclically consecutive positions, so if $x_i = 3$ exactly two products avoid position $i:$ those covering positions $i+1, i+2, i+3$ and $i+2, i+3, i+4$ (indices mod $5$ ). Their sum is $x_{i+2}x_{i+3}(x_{i+1} + x_{i+4}),$ and since $x_{i+2}x_{i+3}$ is not divisible by $3,$ the condition is $x_{i+1} + x_{i+4} \equiv 0 \pmod 3.$

Among the remaining values, $1$ and $4$ are $\equiv 1$ while $2$ and $5$ are $\equiv 2 \pmod 3,$ so positions $i+1$ and $i+4$ must take one value from each class: $2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$ ordered choices. The other two values fill positions $i+2$ and $i+3$ in $2$ ways. With $5$ choices for the position of $3,$ the count is $5 \cdot 8 \cdot 2 = 80.$

4.

Existen números reales $a,$ $b,$ $c,$ y $d$ tales que $-20$ es una raíz de $x^3 + ax + b$ y $-21$ es una raíz de $x^3 + cx^2 + d.$ Estos dos polinomios comparten una raíz compleja $m + \sqrt{n} \cdot i,$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos e $i = \sqrt{-1}.$ Halle $m + n.$

There are real numbers $a,$ $b,$ $c,$ and $d$ such that $-20$ is a root of $x^3 + ax + b$ and $-21$ is a root of $x^3 + cx^2 + d.$ These two polynomials share a complex root $m + \sqrt{n} \cdot i,$ where $m$ and $n$ are positive integers and $i = \sqrt{-1}.$ Find $m + n.$

Respuesta

Conceptos:número complejo Fórmulas de Vieta polinomio

Nivel de dificultad: 2100

Pista pequeña:

Los coeficientes reales obligan a que las raíces no reales aparezcan en pares conjugados, así que las raíces de cada cúbica constan de su raíz real y $m \pm \sqrt{n}\,i$

Real coefficients force non-real roots to come in conjugate pairs, so each cubic has roots consisting of its real root and $m \pm \sqrt{n}\,i$

Pista grande:

La primera cúbica no tiene término $x^2$ , así que sus raíces suman $0;$ la segunda no tiene término $x$ , así que la suma de los productos por pares de sus raíces es $0$

The first cubic has no $x^2$ term, so its roots sum to $0;$ the second has no $x$ term, so its pairwise products of roots sum to $0$

Solución:

Ambas cúbicas tienen coeficientes reales, así que sus raíces no reales aparecen en pares conjugados: las raíces de la primera son $-20$ y $m \pm \sqrt{n}\,i,$ y las raíces de la segunda son $-21$ y $m \pm \sqrt{n}\,i.$

La primera cúbica $x^3 + ax + b$ no tiene término $x^2$ , así que sus raíces suman $0:$ $-20 + 2m = 0,$ lo que da $m = 10.$ La segunda cúbica $x^3 + cx^2 + d$ no tiene término $x$ , así que la suma de los productos por pares de sus raíces es $0:$ $\begin{aligned} &(m + \sqrt{n}\,i)(m - \sqrt{n}\,i) \\ &\quad {}+ (-21)(2m) \\ &= m^2 + n - 42m = 0, \end{aligned}$ de modo que $n = 420 - 100 = 320.$ Entonces $m + n = 10 + 320 = 330.$

Both cubics have real coefficients, so their non-real roots come in conjugate pairs: the roots of the first are $-20$ and $m \pm \sqrt{n}\,i,$ and the roots of the second are $-21$ and $m \pm \sqrt{n}\,i.$

The first cubic $x^3 + ax + b$ has no $x^2$ term, so its roots sum to $0:$ $-20 + 2m = 0,$ giving $m = 10.$ The second cubic $x^3 + cx^2 + d$ has no $x$ term, so the sum of pairwise products of its roots is $0:$ $\begin{aligned} &(m + \sqrt{n}\,i)(m - \sqrt{n}\,i) \\ &\quad {}+ (-21)(2m) \\ &= m^2 + n - 42m = 0, \end{aligned}$ so $n = 420 - 100 = 320.$ Then $m + n = 10 + 320 = 330.$

5.

Para números reales positivos $s,$ sea $\tau(s)$ el conjunto de todos los triángulos obtusángulos que tienen área $s$ y dos lados de longitudes $4$ y $10.$ El conjunto de todos los $s$ para los que $\tau(s)$ es no vacío, pero todos los triángulos de $\tau(s)$ son congruentes, es un intervalo $[a, b).$ Halle $a^2 + b^2.$

For positive real numbers $s,$ let $\tau(s)$ denote the set of all obtuse triangles that have area $s$ and two sides with lengths $4$ and $10.$ The set of all $s$ for which $\tau(s)$ is nonempty, but all triangles in $\tau(s)$ are congruent, is an interval $[a, b).$ Find $a^2 + b^2.$

Respuesta

Conceptos:trigonometría área del triángulo ley de los cosenos

Nivel de dificultad: 2720

Pista pequeña:

Con ángulo incluido $\theta$ entre los lados de longitudes $4$ y $10,$ el área es $20\sin\theta,$ y cada $\theta$ da un triángulo

With included angle $\theta$ between the sides of lengths $4$ and $10,$ the area is $20\sin\theta,$ and each $\theta$ gives one triangle

Pista grande:

El triángulo es obtusángulo cuando $\theta \gt 90^\circ,$ o cuando $\theta$ es agudo con $\cos\theta \gt \frac{2}{5}$ (el ángulo opuesto al lado $10$ es obtuso). Halle dónde ocurre exactamente un solo caso.

Obtuse happens when $\theta \gt 90^\circ,$ or when $\theta$ is acute with $\cos\theta \gt \frac{2}{5}$ (angle opposite the side $10$ obtuse). Find where exactly one case occurs.

Solución:

Un triángulo con lados $4$ y $10$ queda determinado por el ángulo incluido $\theta,$ y su área es $\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 10 \sin\theta = 20\sin\theta.$ Cuando $\theta \gt 90^\circ$ , el triángulo es obtusángulo, y este caso produce exactamente un triángulo para cada área $s \in (0, 20).$

Cuando $\theta \lt 90^\circ,$ el tercer lado satisface $c^2 = 116 - 80\cos\theta,$ y el triángulo es obtusángulo solo si el ángulo opuesto al lado de longitud $10$ es obtuso (si $c$ fuera el lado más largo, su ángulo opuesto $\theta$ sería agudo, haciendo agudo el triángulo). Eso requiere $4^2 + c^2 \lt 10^2,$ es decir $116 - 80\cos\theta \lt 84,$ es decir $\cos\theta \gt \frac{2}{5}.$ Entonces $\sin\theta \lt \frac{\sqrt{21}}{5},$ así que esta segunda familia existe exactamente para $s \lt 4\sqrt{21}.$

Para $s \lt 4\sqrt{21}$ hay dos triángulos obtusángulos no congruentes (sus terceros lados difieren), mientras que para $4\sqrt{21} \le s \lt 20$ solo existe el triángulo con $\theta$ obtuso: en $s = 4\sqrt{21}$ el candidato con $\theta$ agudo se convierte en un triángulo rectángulo. Para $s \ge 20$ no hay ninguno. Por lo tanto $[a, b) = [4\sqrt{21}, 20)$ y $a^2 + b^2 = 336 + 400 = 736.$

A triangle with sides $4$ and $10$ is determined by the included angle $\theta,$ and its area is $\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 10 \sin\theta = 20\sin\theta.$ When $\theta \gt 90^\circ$ the triangle is obtuse, and this case produces exactly one triangle for each area $s \in (0, 20).$

When $\theta \lt 90^\circ,$ the third side satisfies $c^2 = 116 - 80\cos\theta,$ and the triangle is obtuse only if the angle opposite the side of length $10$ is obtuse (if $c$ were the longest side, its opposite angle $\theta$ would be acute, making the triangle acute). That requires $4^2 + c^2 \lt 10^2,$ i.e. $116 - 80\cos\theta \lt 84,$ i.e. $\cos\theta \gt \frac{2}{5}.$ Then $\sin\theta \lt \frac{\sqrt{21}}{5},$ so this second family exists exactly for $s \lt 4\sqrt{21}.$

For $s \lt 4\sqrt{21}$ there are two non-congruent obtuse triangles (their third sides differ), while for $4\sqrt{21} \le s \lt 20$ only the obtuse- $\theta$ triangle exists: at $s = 4\sqrt{21}$ the acute- $\theta$ candidate becomes a right triangle. For $s \ge 20$ there are none. Hence $[a, b) = [4\sqrt{21}, 20)$ and $a^2 + b^2 = 336 + 400 = 736.$

6.

Para cualquier conjunto finito $S,$ sea $|S|$ el número de elementos de $S.$ Halle el número de pares ordenados $(A, B)$ tales que $A$ y $B$ son subconjuntos (no necesariamente distintos) de $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ que satisfacen $|A| \cdot |B| = |A \cap B| \cdot |A \cup B|.$

For any finite set $S,$ let $|S|$ denote the number of elements in $S.$ Find the number of ordered pairs $(A, B)$ such that $A$ and $B$ are (not necessarily distinct) subsets of $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ that satisfy $|A| \cdot |B| = |A \cap B| \cdot |A \cup B|.$

Respuesta

Conceptos:subconjuntos factorización inclusión-exclusión

Nivel de dificultad: 2440

Pista pequeña:

Escriba $a = |A|,$ $b = |B|,$ $i = |A \cap B|;$ entonces $|A \cup B| = a + b - i$

Write $a = |A|,$ $b = |B|,$ $i = |A \cap B|;$ then $|A \cup B| = a + b - i$

Pista grande:

La ecuación se factoriza como $(a - i)(b - i) = 0,$ así que la condición es $A \subseteq B$ o $B \subseteq A$

The equation factors as $(a - i)(b - i) = 0,$ so the condition is $A \subseteq B$ or $B \subseteq A$

Solución:

Sean $a = |A|,$ $b = |B|,$ e $i = |A \cap B|,$ de modo que $|A \cup B| = a + b - i.$ La condición $ab = i(a + b - i)$ se reorganiza como $\begin{aligned} &ab - ia - ib + i^2 \\ &= (a - i)(b - i) = 0, \end{aligned}$ así que $|A \cap B| = |A|$ o $|A \cap B| = |B|.$ Como $A \cap B$ es un subconjunto de cada uno, eso significa que $A \subseteq B$ o $B \subseteq A.$

Para los pares con $A \subseteq B,$ cada uno de los $5$ elementos está, de forma independiente, en ninguno de los dos conjuntos, solo en $B$ , o en ambos: $3^5 = 243$ pares. De igual modo, $243$ pares satisfacen $B \subseteq A,$ y los pares contados dos veces son exactamente aquellos con $A = B,$ de los cuales hay $2^5 = 32.$ La respuesta es $243 + 243 - 32 = 454.$

Let $a = |A|,$ $b = |B|,$ and $i = |A \cap B|,$ so $|A \cup B| = a + b - i.$ The condition $ab = i(a + b - i)$ rearranges to $\begin{aligned} &ab - ia - ib + i^2 \\ &= (a - i)(b - i) = 0, \end{aligned}$ so $|A \cap B| = |A|$ or $|A \cap B| = |B|.$ Since $A \cap B$ is a subset of each, that means $A \subseteq B$ or $B \subseteq A.$

For pairs with $A \subseteq B,$ each of the $5$ elements independently lies in neither set, in $B$ only, or in both: $3^5 = 243$ pairs. Likewise $243$ pairs satisfy $B \subseteq A,$ and the pairs counted twice are exactly those with $A = B,$ of which there are $2^5 = 32.$ The answer is $243 + 243 - 32 = 454.$

7.

Sean $a,$ $b,$ $c,$ y $d$ números reales que satisfacen el sistema de ecuaciones $\begin{aligned} a + b &= -3, \\ ab + bc + ca &= -4, \end{aligned}$ $\begin{aligned} abc + bcd + cda + dab &= 14, \\ abcd &= 30. \end{aligned}$ Existen enteros positivos primos entre sí $m$ y $n$ tales que $a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = \frac{m}{n}.$ Halle $m + n.$

Let $a,$ $b,$ $c,$ and $d$ be real numbers that satisfy the system of equations $\begin{aligned} a + b &= -3, \\ ab + bc + ca &= -4, \end{aligned}$ $\begin{aligned} abc + bcd + cda + dab &= 14, \\ abcd &= 30. \end{aligned}$ There exist relatively prime positive integers $m$ and $n$ such that $a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = \frac{m}{n}.$ Find $m + n.$

Respuesta

Conceptos:sistema de ecuaciones simetría (álgebra)factorización

Nivel de dificultad: 2650

Pista pequeña:

La segunda ecuación es $ab + c(a + b) = -4,$ lo que da $ab = 3c - 4;$ agrupe la tercera como $ab(c + d) + cd(a + b) = 14$

The second equation is $ab + c(a + b) = -4,$ giving $ab = 3c - 4;$ group the third as $ab(c + d) + cd(a + b) = 14$

Pista grande:

Eliminando $d$ y $cd$ queda una cuártica en $c$ cuyas raíces reales son $-2$ y $\frac{10}{3};$ una de ellas hace que $a$ y $b$ no sean reales

Eliminating $d$ and $cd$ leaves a quartic in $c$ whose real roots are $-2$ and $\frac{10}{3};$ one of them makes $a$ and $b$ non-real

Solución:

Como $a + b = -3,$ la segunda ecuación se lee $ab + c(a + b) = ab - 3c = -4,$ así que $ab = 3c - 4.$ Agrupar la tercera ecuación como $ab(c + d) + cd(a + b) = 14$ da $(3c - 4)(c + d) - 3cd = 14,$ que se simplifica a $3c^2 - 4c - 4d = 14,$ así que $d = \frac{3c^2 - 4c - 14}{4}.$ La cuarta ecuación se convierte en $(3c - 4)\,cd = 30.$

Sustituyendo $d$ se obtiene $c(3c - 4)(3c^2 - 4c - 14) = 120,$ es decir, $\begin{aligned} &9c^4 - 24c^3 - 26c^2 \\ &\quad {}+ 56c - 120 \\ &= (c + 2)(3c - 10) \\ &\quad {}\cdot (3c^2 - 4c + 6) \\ &= 0. \end{aligned}$ El factor cuadrático tiene discriminante negativo, así que $c = -2$ o $c = \frac{10}{3}.$ Si $c = \frac{10}{3},$ entonces $ab = 6$ con $a + b = -3,$ imposible para $a, b$ reales, ya que $9 - 24 \lt 0.$ Por lo tanto $c = -2,$ lo que da $ab = -10$ y $d = \frac{12 + 8 - 14}{4} = \frac{3}{2}.$

Entonces $a^2 + b^2$ $= (a + b)^2 - 2ab$ $= 9 + 20 = 29$ y $c^2 + d^2 = 4 + \frac{9}{4} = \frac{25}{4},$ así que $a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = \frac{141}{4}$ y $m + n = 141 + 4 = 145.$

Since $a + b = -3,$ the second equation reads $ab + c(a + b) = ab - 3c = -4,$ so $ab = 3c - 4.$ Grouping the third equation as $ab(c + d) + cd(a + b) = 14$ gives $(3c - 4)(c + d) - 3cd = 14,$ which simplifies to $3c^2 - 4c - 4d = 14,$ so $d = \frac{3c^2 - 4c - 14}{4}.$ The fourth equation becomes $(3c - 4)\,cd = 30.$

Substituting for $d$ yields $c(3c - 4)(3c^2 - 4c - 14) = 120,$ i.e. $\begin{aligned} &9c^4 - 24c^3 - 26c^2 \\ &\quad {}+ 56c - 120 \\ &= (c + 2)(3c - 10) \\ &\quad {}\cdot (3c^2 - 4c + 6) \\ &= 0. \end{aligned}$ The quadratic factor has negative discriminant, so $c = -2$ or $c = \frac{10}{3}.$ If $c = \frac{10}{3},$ then $ab = 6$ with $a + b = -3,$ impossible for real $a, b$ since $9 - 24 \lt 0.$ So $c = -2,$ giving $ab = -10$ and $d = \frac{12 + 8 - 14}{4} = \frac{3}{2}.$

Then $a^2 + b^2$ $= (a + b)^2 - 2ab$ $= 9 + 20 = 29$ and $c^2 + d^2 = 4 + \frac{9}{4} = \frac{25}{4},$ so $a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = \frac{141}{4}$ and $m + n = 141 + 4 = 145.$

8.

Una hormiga realiza una sucesión de movimientos sobre un cubo, donde un movimiento consiste en caminar de un vértice a un vértice adyacente a lo largo de una arista del cubo. Inicialmente la hormiga está en un vértice de la cara inferior del cubo y elige uno de los tres vértices adyacentes al que moverse como su primer movimiento. Para todos los movimientos posteriores al primero, la hormiga no regresa a su vértice anterior, sino que elige moverse a uno de los otros dos vértices adyacentes. Todas las elecciones se hacen al azar, de modo que cada uno de los movimientos posibles es igualmente probable. La probabilidad de que, tras exactamente $8$ movimientos, la hormiga esté en un vértice de la cara superior del cubo es $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halle $m + n.$

An ant makes a sequence of moves on a cube where a move consists of walking from one vertex to an adjacent vertex along an edge of the cube. Initially the ant is at a vertex of the bottom face of the cube and chooses one of the three adjacent vertices to move to as its first move. For all moves after the first move, the ant does not return to its previous vertex, but chooses to move to one of the other two adjacent vertices. All choices are selected at random so that each of the possible moves is equally likely. The probability that after exactly $8$ moves that ant is at a vertex of the top face on the cube is $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Conceptos:camino aleatorio conteo recursivo

Nivel de dificultad: 2840

Pista pequeña:

Siga dos cosas: si la hormiga está en la cara inferior o superior, y si su último movimiento fue vertical u horizontal

Track two things: whether the ant is on the bottom or top face, and whether its last move was vertical or horizontal

Pista grande:

Tras un movimiento vertical, ambas continuaciones son horizontales; tras un movimiento horizontal, una continuación es horizontal y otra es vertical. Itere ocho pasos.

After a vertical move both continuations are horizontal; after a horizontal move one continuation is horizontal and one is vertical. Iterate eight steps.

Solución:

Las $3 \cdot 2^7 = 384$ sucesiones de movimientos permitidas son igualmente probables, así que contamos las que terminan en la cara superior. Clasificamos la hormiga después de cada movimiento según su cara (inferior o superior) y según si su último movimiento fue vertical: tras un movimiento vertical, las dos continuaciones permitidas son las dos aristas horizontales en el nuevo vértice, mientras que tras un movimiento horizontal, una continuación es horizontal y otra es vertical.

Sea $(B_h, B_v, T_h, T_v)$ el conteo de sucesiones que terminan en la cara inferior o superior con el último movimiento horizontal o vertical. Cada sucesión se divide en dos, siguiendo $\begin{aligned} B_h' &= B_h + 2B_v, \\ T_v' &= B_h, \\ T_h' &= T_h + 2T_v, \\ B_v' &= T_h. \end{aligned}$ Tras el movimiento $1$ , los conteos son $(2, 0, 0, 1),$ e iterando se obtiene $(2, 0, 2, 2),$ $(2, 2, 6, 2),$ $(6, 6, 10, 2),$ $(18, 10, 14, 6),$ $(38, 14, 26, 18),$ $(66, 26, 62, 38),$ y tras el octavo movimiento $T_h = 62 + 76 = 138$ y $T_v = 66.$

Así que $138 + 66 = 204$ de las $384$ sucesiones terminan en la cara superior, lo que da probabilidad $\frac{204}{384} = \frac{17}{32}$ y $m + n = 17 + 32 = 49.$

All $3 \cdot 2^7 = 384$ allowed move sequences are equally likely, so we count those ending on the top face. Classify the ant after each move by its face (bottom or top) and by whether its last move was vertical: after a vertical move the two allowed continuations are the two horizontal edges at the new vertex, while after a horizontal move one continuation is horizontal and one is vertical.

Let $(B_h, B_v, T_h, T_v)$ count sequences ending on the bottom or top with last move horizontal or vertical. Each sequence splits into two, following $\begin{aligned} B_h' &= B_h + 2B_v, \\ T_v' &= B_h, \\ T_h' &= T_h + 2T_v, \\ B_v' &= T_h. \end{aligned}$ After move $1$ the counts are $(2, 0, 0, 1),$ and iterating gives $(2, 0, 2, 2),$ $(2, 2, 6, 2),$ $(6, 6, 10, 2),$ $(18, 10, 14, 6),$ $(38, 14, 26, 18),$ $(66, 26, 62, 38),$ and after the eighth move $T_h = 62 + 76 = 138$ and $T_v = 66.$

So $138 + 66 = 204$ of the $384$ sequences end on the top face, giving probability $\frac{204}{384} = \frac{17}{32}$ and $m + n = 17 + 32 = 49.$

9.

Halle el número de pares ordenados $(m, n)$ tales que $m$ y $n$ son enteros positivos del conjunto $\{1, 2, \ldots, 30\}$ y el máximo común divisor de $2^m + 1$ y $2^n - 1$ no es $1.$

Find the number of ordered pairs $(m, n)$ such that $m$ and $n$ are positive integers in the set $\{1, 2, \ldots, 30\}$ and the greatest common divisor of $2^m + 1$ and $2^n - 1$ is not $1.$

Respuesta

Conceptos:orden multiplicativo máximo común divisor potencia de 2

Nivel de dificultad: 2920

Pista pequeña:

Un primo que divide a ambos números obliga a que el orden de $2$ módulo ese primo divida a $2m$ y a $n$ , pero no a $m$

A prime dividing both numbers forces the order of $2$ modulo that prime to divide $2m$ and $n$ but not $m$

Pista grande:

El máximo común divisor supera $1$ exactamente cuando $n$ contiene estrictamente más factores de $2$ que $m;$ cuente los pares según la potencia de $2$ en cada número

The gcd exceeds $1$ exactly when $n$ contains strictly more factors of $2$ than $m;$ count pairs by the power of $2$ in each number

Solución:

Supongamos que un primo impar $p$ divide tanto a $2^m + 1$ como a $2^n - 1.$ De $2^m \equiv -1 \pmod p,$ el orden de $2$ módulo $p$ divide a $2m$ pero no a $m,$ así que el orden contiene exactamente un factor de $2$ más que $m$ . El orden también divide a $n,$ así que $n$ debe contener estrictamente más factores de $2$ que $m:$ escribiendo $v_2$ para el número de factores de $2,$ necesitamos $v_2(n) \gt v_2(m).$

Recíprocamente, si $v_2(n) \gt v_2(m),$ sea $g = \gcd(m, n).$ Entonces $v_2(g) = v_2(m),$ así que $\frac{m}{g}$ es impar y $2^g + 1$ divide a $2^m + 1;$ además $2g$ divide a $n,$ así que $2^g + 1$ divide a $2^{2g} - 1,$ que a su vez divide a $2^n - 1.$ Por lo tanto el máximo común divisor supera $1$ exactamente cuando $v_2(n) \gt v_2(m).$

Entre $1, \ldots, 30$ , las cantidades de números con $v_2 = 0, 1, 2, 3, 4$ son $15, 8, 4, 2, 1.$ El número de pares con $v_2(m) \lt v_2(n)$ es $\begin{aligned} &15 \cdot 15 + 8 \cdot 7 + 4 \cdot 3 + 2 \cdot 1 \\ &= 225 + 56 + 12 + 2 = 295. \end{aligned}$

Suppose an odd prime $p$ divides both $2^m + 1$ and $2^n - 1.$ From $2^m \equiv -1 \pmod p,$ the order of $2$ modulo $p$ divides $2m$ but not $m,$ so the order contains exactly one more factor of $2$ than $m$ does. The order also divides $n,$ so $n$ must contain strictly more factors of $2$ than $m:$ writing $v_2$ for the number of factors of $2,$ we need $v_2(n) \gt v_2(m).$

Conversely, if $v_2(n) \gt v_2(m),$ let $g = \gcd(m, n).$ Then $v_2(g) = v_2(m),$ so $\frac{m}{g}$ is odd and $2^g + 1$ divides $2^m + 1;$ also $2g$ divides $n,$ so $2^g + 1$ divides $2^{2g} - 1,$ which in turn divides $2^n - 1.$ Hence the gcd exceeds $1$ exactly when $v_2(n) \gt v_2(m).$

Among $1, \ldots, 30$ the counts of numbers with $v_2 = 0, 1, 2, 3, 4$ are $15, 8, 4, 2, 1.$ The number of pairs with $v_2(m) \lt v_2(n)$ is $\begin{aligned} &15 \cdot 15 + 8 \cdot 7 + 4 \cdot 3 + 2 \cdot 1 \\ &= 225 + 56 + 12 + 2 = 295. \end{aligned}$

10.

Dos esferas de radio $36$ y una esfera de radio $13$ son cada una tangente externamente a las otras dos esferas y a dos planos distintos $\mathcal{P}$ y $\mathcal{Q}.$ La intersección de los planos $\mathcal{P}$ y $\mathcal{Q}$ es la recta $\ell.$ La distancia desde la recta $\ell$ hasta el punto donde la esfera de radio $13$ es tangente al plano $\mathcal{P}$ es $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halle $m + n.$

Two spheres with radii $36$ and one sphere with radius $13$ are each externally tangent to the other two spheres and to two different planes $\mathcal{P}$ and $\mathcal{Q}.$ The intersection of planes $\mathcal{P}$ and $\mathcal{Q}$ is the line $\ell.$ The distance from line $\ell$ to the point where the sphere with radius $13$ is tangent to plane $\mathcal{P}$ is $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Conceptos:esfera Geometría 3D Teorema de Pitágoras trigonometría

Nivel de dificultad: 2990

Pista pequeña:

El centro de cada esfera está en el semiplano bisector del ángulo diedro $2\theta,$ a distancia $\frac{r}{\sin\theta}$ de $\ell$

Each sphere’s center lies on the bisector half-plane of the dihedral angle $2\theta,$ at distance $\frac{r}{\sin\theta}$ from $\ell$

Pista grande:

La tangencia de la esfera pequeña con una grande da $\left(\frac{23}{\sin\theta}\right)^2 + 36^2 = 49^2;$ observe que $23^2 + 24^2 = 1105$

Tangency of the small sphere to a big one gives $\left(\frac{23}{\sin\theta}\right)^2 + 36^2 = 49^2;$ note $23^2 + 24^2 = 1105$

Solución:

Una esfera de radio $r$ tangente a ambos planos tiene su centro en el semiplano que biseca el ángulo diedro. Si el ángulo diedro es $2\theta,$ el centro está a distancia $\frac{r}{\sin\theta}$ de $\ell.$ En la sección transversal que pasa por el centro y es perpendicular a $\ell,$ el punto de $\ell,$ el centro y el punto de tangencia sobre $\mathcal{P}$ forman un triángulo rectángulo con ángulo $\theta$ en $\ell,$ así que el punto de tangencia está a distancia $\frac{r\cos\theta}{\sin\theta}$ de $\ell.$

Medimos posiciones a lo largo de $\ell.$ Los centros de las dos esferas de radio $36$ están ambos a distancia $\frac{36}{\sin\theta}$ de $\ell$ y están separados por $72$ , así que difieren en $72$ a lo largo de $\ell,$ y por simetría el centro de radio $13$ queda a mitad de camino entre ellos a lo largo de $\ell,$ a distancia $\frac{13}{\sin\theta}$ de $\ell.$ La tangencia externa hace que su distancia a cada centro grande sea $49:$ $\left(\frac{36}{\sin\theta} - \frac{13}{\sin\theta}\right)^2 + 36^2 = 49^2,$ de modo que $\left(\frac{23}{\sin\theta}\right)^2 = 49^2 - 36^2 = 1105.$ Como $23^2 + 24^2 = 1105,$ obtenemos $\sin\theta = \frac{23}{\sqrt{1105}}$ y $\cos\theta = \frac{24}{\sqrt{1105}}.$

La distancia buscada es $\frac{13\cos\theta}{\sin\theta} = \frac{13 \cdot 24}{23} = \frac{312}{23},$ que ya está en su forma más simple, así que $m + n = 312 + 23 = 335.$

A sphere of radius $r$ tangent to both planes has its center on the half-plane bisecting the dihedral angle. If the dihedral angle is $2\theta,$ the center is at distance $\frac{r}{\sin\theta}$ from $\ell.$ In the cross-section through the center perpendicular to $\ell,$ the point of $\ell,$ the center, and the tangent point on $\mathcal{P}$ form a right triangle with angle $\theta$ at $\ell,$ so the tangent point lies at distance $\frac{r\cos\theta}{\sin\theta}$ from $\ell.$

Measure positions along $\ell.$ The centers of the two radius- $36$ spheres are both at distance $\frac{36}{\sin\theta}$ from $\ell$ and are $72$ apart, so they differ by $72$ along $\ell,$ and by symmetry the radius- $13$ center sits halfway between them along $\ell,$ at distance $\frac{13}{\sin\theta}$ from $\ell.$ External tangency makes its distance to each big center $49:$ $\left(\frac{36}{\sin\theta} - \frac{13}{\sin\theta}\right)^2 + 36^2 = 49^2,$ so $\left(\frac{23}{\sin\theta}\right)^2 = 49^2 - 36^2 = 1105.$ Since $23^2 + 24^2 = 1105,$ we get $\sin\theta = \frac{23}{\sqrt{1105}}$ and $\cos\theta = \frac{24}{\sqrt{1105}}.$

The required distance is $\frac{13\cos\theta}{\sin\theta} = \frac{13 \cdot 24}{23} = \frac{312}{23},$ which is in lowest terms, so $m + n = 312 + 23 = 335.$

11.

Un profesor dirigía una clase de cuatro estudiantes perfectamente lógicos. El profesor eligió un conjunto $S$ de cuatro enteros y dio a cada estudiante un número distinto de $S$ . Luego el profesor anunció a la clase que los números de $S$ eran cuatro enteros positivos consecutivos de dos dígitos, que algún número de $S$ era divisible por $6,$ y que un número distinto de $S$ era divisible por $7.$ El profesor preguntó entonces si alguno de los estudiantes podía deducir cuál es $S$ , pero al unísono, todos los estudiantes respondieron que no.

Sin embargo, al oír que los cuatro estudiantes respondieron que no, cada estudiante pudo determinar los elementos de $S.$ Halle la suma de todos los valores posibles del mayor elemento de $S.$

A teacher was leading a class of four perfectly logical students. The teacher chose a set $S$ of four integers and gave a different number in $S$ to each student. Then the teacher announced to the class that the numbers in $S$ were four consecutive two-digit positive integers, that some number in $S$ was divisible by $6,$ and a different number in $S$ was divisible by $7.$ The teacher then asked if any of the students could deduce what $S$ is, but in unison, all of the students replied no.

However, upon hearing that all four students replied no, each student was able to determine the elements of $S.$ Find the sum of all possible values of the greatest element of $S.$

Respuesta

Conceptos:deducción lógica divisibilidad análisis por casos

Nivel de dificultad: 3060

Pista pequeña:

Enumere los tramos de cuatro enteros consecutivos de dos dígitos que contengan un múltiplo de $6$ y un múltiplo distinto de $7$

List the runs of four consecutive two-digit integers containing a multiple of $6$ and a different multiple of $7$

Pista grande:

Un estudiante dice que no exactamente cuando su número está en más de uno de esos tramos; conserve solo los tramos cuyos cuatro números sean todos ambiguos

A student says no exactly when their number lies in more than one such run; keep only the runs whose four numbers are all ambiguous

Solución:

Llamamos tramo a cualquier conjunto de cuatro enteros consecutivos de dos dígitos que contenga un múltiplo de $6$ y un múltiplo distinto de $7;$ los tramos son exactamente los candidatos para $S$ permitidos por el anuncio. Un estudiante que tenga un número que esté en exactamente un tramo podría nombrar $S$ de inmediato, así que el “no” unánime revela que cada elemento de $S$ está en al menos dos tramos.

Un número pertenece a dos tramos distintos solo cuando tramos cercanos se solapan, lo que ocurre cuando un múltiplo de $6$ y un múltiplo de $7$ son enteros consecutivos, ambos de dos dígitos: los pares $(35, 36),$ $(48, 49),$ $(77, 78),$ y $(90, 91).$ Revisando cada agrupación, los tramos cuyos cuatro elementos son todos ambiguos son exactamente aquellos con un par de este tipo en las dos posiciones centrales: $\begin{aligned} &\{34, 35, 36, 37\}, \\ &\{47, 48, 49, 50\}, \\ &\{76, 77, 78, 79\}, \\ &\{89, 90, 91, 92\}. \end{aligned}$ Estos cuatro conjuntos son disjuntos dos a dos, así que tras las cuatro respuestas “no”, el propio número de cada estudiante distingue uno de ellos, en consonancia con que todos deduzcan luego $S.$

Los mayores elementos posibles son $37,$ $50,$ $79,$ y $92,$ con suma $258.$

Call a run any set of four consecutive two-digit integers containing a multiple of $6$ and a different multiple of $7;$ the runs are exactly the candidates for $S$ allowed by the announcement. A student holding a number that lies in exactly one run could name $S$ immediately, so the unanimous “no” reveals that every element of $S$ lies in at least two runs.

A number belongs to two different runs only when nearby runs overlap, which happens when a multiple of $6$ and a multiple of $7$ are consecutive integers, both two-digit: the pairs $(35, 36),$ $(48, 49),$ $(77, 78),$ and $(90, 91).$ Checking each cluster, the runs all four of whose elements are ambiguous are exactly the ones with such a pair in the two middle positions: $\begin{aligned} &\{34, 35, 36, 37\}, \\ &\{47, 48, 49, 50\}, \\ &\{76, 77, 78, 79\}, \\ &\{89, 90, 91, 92\}. \end{aligned}$ These four sets are pairwise disjoint, so after the four “no” replies each student’s own number singles out one of them, consistent with everyone then deducing $S.$

The possible greatest elements are $37,$ $50,$ $79,$ and $92,$ with sum $258.$

12.

Un cuadrilátero convexo tiene área $30$ y longitudes de lado $5,$ $6,$ $9,$ y $7,$ en ese orden. Denote por $\theta$ la medida del ángulo agudo formado por las diagonales del cuadrilátero. Entonces $\tan \theta$ se puede escribir en la forma $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halle $m + n.$

A convex quadrilateral has area $30$ and side lengths $5,$ $6,$ $9,$ and $7,$ in that order. Denote by $\theta$ the measure of the acute angle formed by the diagonals of the quadrilateral. Then $\tan \theta$ can be written in the form $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Conceptos:ley de los cosenos área trigonometría

Nivel de dificultad: 2920

Pista pequeña:

Si las diagonales tienen longitudes $p$ y $q$ y se cortan en ángulo $\theta,$ el área del cuadrilátero es $\frac{1}{2}pq\sin\theta$

If the diagonals have lengths $p$ and $q$ and meet at angle $\theta,$ the area of the quadrilateral is $\frac{1}{2}pq\sin\theta$

Pista grande:

La ley de cosenos en los cuatro triángulos de las esquinas da $BC^2 + DA^2 - AB^2 - CD^2$ $= 2pq\cos(\angle APB),$ donde $P$ es la intersección de las diagonales

The law of cosines in the four corner triangles gives $BC^2 + DA^2 - AB^2 - CD^2$ $= 2pq\cos(\angle APB),$ where $P$ is the diagonals’ intersection

Solución:

Etiquetamos el cuadrilátero $ABCD$ con $AB = 5,$ $BC = 6,$ $CD = 9,$ $DA = 7,$ y sea $P$ el punto donde se cortan las diagonales, que dividen $\overline{AC}$ en $p_1, p_2$ y $\overline{BD}$ en $q_1, q_2.$ Con $\varphi = \angle APB,$ la ley de cosenos en los cuatro triángulos de las esquinas (cuyos ángulos en $P$ alternan entre $\varphi$ y $180^\circ - \varphi$ ) da $\begin{aligned} &BC^2 + DA^2 - AB^2 - CD^2 \\ &= 2(p_1q_1 + p_1q_2 + p_2q_1 + p_2q_2) \\ &\quad {}\cdot \cos\varphi \\ &= 2\,AC \cdot BD \cos\varphi. \end{aligned}$

El lado izquierdo es $36 + 49 - 25 - 81 = -21,$ así que $AC \cdot BD\,|\cos\varphi| = \frac{21}{2},$ y el ángulo agudo $\theta$ entre las diagonales satisface $AC \cdot BD \cos\theta = \frac{21}{2}.$ Mientras tanto, los cuatro triángulos de las esquinas dan el área $\frac{1}{2} AC \cdot BD \sin\theta = 30,$ así que $AC \cdot BD \sin\theta = 60.$

Dividiendo, $\tan\theta = \frac{60}{\frac{21}{2}} = \frac{40}{7},$ así que $m + n = 40 + 7 = 47.$

Label the quadrilateral $ABCD$ with $AB = 5,$ $BC = 6,$ $CD = 9,$ $DA = 7,$ and let the diagonals meet at $P,$ cutting $\overline{AC}$ into $p_1, p_2$ and $\overline{BD}$ into $q_1, q_2.$ With $\varphi = \angle APB,$ the law of cosines in the four corner triangles (whose angles at $P$ alternate between $\varphi$ and $180^\circ - \varphi$ ) gives $\begin{aligned} &BC^2 + DA^2 - AB^2 - CD^2 \\ &= 2(p_1q_1 + p_1q_2 + p_2q_1 + p_2q_2) \\ &\quad {}\cdot \cos\varphi \\ &= 2\,AC \cdot BD \cos\varphi. \end{aligned}$

The left side is $36 + 49 - 25 - 81 = -21,$ so $AC \cdot BD\,|\cos\varphi| = \frac{21}{2},$ and the acute angle $\theta$ between the diagonals satisfies $AC \cdot BD \cos\theta = \frac{21}{2}.$ Meanwhile the four corner triangles give the area $\frac{1}{2} AC \cdot BD \sin\theta = 30,$ so $AC \cdot BD \sin\theta = 60.$

Dividing, $\tan\theta = \frac{60}{\frac{21}{2}} = \frac{40}{7},$ so $m + n = 40 + 7 = 47.$

13.

Halle el menor entero positivo $n$ para el cual $2^n + 5^n - n$ es un múltiplo de $1000.$

Find the least positive integer $n$ for which $2^n + 5^n - n$ is a multiple of $1000.$

Respuesta

Conceptos:Teorema chino del resto exponenciación modular orden multiplicativo

Nivel de dificultad: 3160

Pista pequeña:

Descomponga $1000 = 8 \cdot 125:$ para $n \ge 3$ se necesita $n \equiv 5^n \pmod 8$ y $n \equiv 2^n \pmod{125}$

Split $1000 = 8 \cdot 125:$ for $n \ge 3$ you need $n \equiv 5^n \pmod 8$ and $n \equiv 2^n \pmod{125}$

Pista grande:

$2^n \bmod 125$ depende solo de $n \bmod 100.$ Fuerce la consistencia módulo $5,$ luego $25,$ para fijar $n \bmod 100,$ y termine con el teorema chino del resto.

$2^n \bmod 125$ depends only on $n \bmod 100.$ Force consistency modulo $5,$ then $25,$ to pin down $n \bmod 100,$ and finish with CRT.

Solución:

Trabajamos módulo $8$ y $125.$ Para $n \ge 3$ tenemos $2^n \equiv 0 \pmod 8,$ así que necesitamos $n \equiv 5^n \pmod 8.$ Si $n$ es par, entonces $5^n \equiv 1,$ lo que obliga a que el número par $n$ sea $\equiv 1 \pmod 8,$ imposible; así que $n$ es impar, $5^n \equiv 5,$ y $n \equiv 5 \pmod 8.$ Además $5^n \equiv 0 \pmod{125}$ para $n \ge 3,$ así que necesitamos $n \equiv 2^n \pmod{125}.$

El orden de $2$ es $4$ módulo $5,$ $20$ módulo $25,$ y $100$ módulo $125.$ Como $n \equiv 5 \pmod 8$ da $n \equiv 1 \pmod 4,$ obtenemos $2^n \equiv 2 \pmod 5,$ así que $n \equiv 2 \pmod 5$ y por lo tanto $n \equiv 17 \pmod{20}.$ Entonces $2^n \equiv 2^{17} = 2^{10} \cdot 2^7$ $\equiv (-1)(3) \equiv 22 \pmod{25},$ así que $n \equiv 22 \pmod{25},$ lo que junto con $n \equiv 1 \pmod 4$ da $n \equiv 97 \pmod{100}.$ Finalmente $2^{10} \equiv 24,$ $2^{20} \equiv 76,$ $2^{40} \equiv 26,$ $2^{80} \equiv 51 \pmod{125},$ así que $\begin{aligned} &2^n \equiv 2^{97} = 2^{80} \cdot 2^{10} \cdot 2^7 \\ &\equiv 51 \cdot 24 \cdot 3 \equiv 47 \pmod{125}, \end{aligned}$ lo que da $n \equiv 47 \pmod{125}.$

Combinando $n \equiv 47 \pmod{125}$ con $n \equiv 5 \pmod 8$ se obtiene $n \equiv 797 \pmod{1000},$ y $n = 1, 2$ fallan por comprobación directa, así que el menor $n$ de este tipo es $797.$

Work modulo $8$ and $125.$ For $n \ge 3$ we have $2^n \equiv 0 \pmod 8,$ so we need $n \equiv 5^n \pmod 8.$ If $n$ is even then $5^n \equiv 1,$ forcing the even number $n$ to be $\equiv 1 \pmod 8,$ impossible; so $n$ is odd, $5^n \equiv 5,$ and $n \equiv 5 \pmod 8.$ Also $5^n \equiv 0 \pmod{125}$ for $n \ge 3,$ so we need $n \equiv 2^n \pmod{125}.$

The order of $2$ is $4$ modulo $5,$ $20$ modulo $25,$ and $100$ modulo $125.$ Since $n \equiv 5 \pmod 8$ gives $n \equiv 1 \pmod 4,$ we get $2^n \equiv 2 \pmod 5,$ so $n \equiv 2 \pmod 5$ and hence $n \equiv 17 \pmod{20}.$ Then $2^n \equiv 2^{17} = 2^{10} \cdot 2^7$ $\equiv (-1)(3) \equiv 22 \pmod{25},$ so $n \equiv 22 \pmod{25},$ which with $n \equiv 1 \pmod 4$ gives $n \equiv 97 \pmod{100}.$ Finally $2^{10} \equiv 24,$ $2^{20} \equiv 76,$ $2^{40} \equiv 26,$ $2^{80} \equiv 51 \pmod{125},$ so $\begin{aligned} &2^n \equiv 2^{97} = 2^{80} \cdot 2^{10} \cdot 2^7 \\ &\equiv 51 \cdot 24 \cdot 3 \equiv 47 \pmod{125}, \end{aligned}$ giving $n \equiv 47 \pmod{125}.$

Combining $n \equiv 47 \pmod{125}$ with $n \equiv 5 \pmod 8$ yields $n \equiv 797 \pmod{1000},$ and $n = 1, 2$ fail by direct check, so the least such $n$ is $797.$

14.

Sea $\triangle ABC$ un triángulo acutángulo con circuncentro $O$ y baricentro $G.$ Sea $X$ la intersección de la recta tangente a la circunferencia circunscrita de $\triangle ABC$ en $A$ con la recta perpendicular a $GO$ en $G.$ Sea $Y$ la intersección de las rectas $XG$ y $BC.$ Dado que las medidas de $\angle ABC,$ $\angle BCA,$ y $\angle XOY$ están en la razón $13 : 2 : 17,$ la medida en grados de $\angle BAC$ se puede escribir como $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halle $m + n.$

Let $\triangle ABC$ be an acute triangle with circumcenter $O$ and centroid $G.$ Let $X$ be the intersection of the line tangent to the circumcircle of $\triangle ABC$ at $A$ and the line perpendicular to $GO$ at $G.$ Let $Y$ be the intersection of lines $XG$ and $BC.$ Given that the measures of $\angle ABC,$ $\angle BCA,$ and $\angle XOY$ are in the ratio $13 : 2 : 17,$ the degree measure of $\angle BAC$ can be written as $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Conceptos:circunferencia circunscrita, circuncentro y circunradio cuadrilátero cíclico persecución de ángulos baricentro

Nivel de dificultad: 3370

Pista pequeña:

Los ángulos rectos en $A$ y $G$ hacen que $OAXG$ sea cíclico; los ángulos rectos en $G$ y $M$ (el punto medio de $\overline{BC}$ ) hacen que $OGYM$ sea cíclico

Right angles at $A$ and $G$ make $OAXG$ cyclic; right angles at $G$ and $M$ (the midpoint of $\overline{BC}$ ) make $OGYM$ cyclic

Pista grande:

Ángulos iguales sobre la cuerda $OG$ en esas circunferencias dan $\angle XOY = \angle AOM,$ que los ángulos centrales expresan en términos de los ángulos del triángulo

Equal angles on chord $OG$ in those circles give $\angle XOY = \angle AOM,$ which central angles express in terms of the triangle’s angles

Solución:

Sea $M$ el punto medio de $\overline{BC},$ de modo que $A,$ $G,$ $M$ son colineales a lo largo de la mediana, mientras que $X,$ $G,$ $Y$ son colineales por definición. Como $OA \perp AX$ (tangente y radio) y $OG \perp GX,$ el cuadrilátero $OAXG$ es cíclico con diámetro $\overline{OX}.$ Como $OG \perp GY$ y $OM \perp MY$ (el segmento del centro al punto medio de una cuerda es perpendicular a ella), el cuadrilátero $OGYM$ es cíclico con diámetro $\overline{OY}.$

En cada circunferencia la cuerda $\overline{OG}$ subtiende ángulos iguales, así que $\angle OXY = \angle OXG$ $= \angle OAG = \angle OAM$ y $\angle OYX = \angle OYG$ $= \angle OMG = \angle OMA.$ Los triángulos $OXY$ y $OAM$ tienen por lo tanto las mismas sumas de ángulos en sus bases, lo que da $\begin{aligned} \angle XOY &= 180^\circ - \angle OXY \\ &\quad {}- \angle OYX \\ &= 180^\circ - \angle OAM \\ &\quad {}- \angle OMA \\ &= \angle AOM. \end{aligned}$

Escribimos $\angle ABC = 13k$ y $\angle BCA = 2k,$ de modo que $\angle BAC = 180^\circ - 15k.$ Los ángulos centrales dan $\angle AOB = 2\angle BCA = 4k,$ y $\overline{OM}$ biseca $\angle BOC = 2\angle BAC,$ así que del lado de $B$ (más cerca del arco de $A$ , ya que $\angle ABC \gt \angle BCA$ ), $\begin{aligned} \angle AOM &= \angle AOB + \angle BOM \\ &= 4k + (180^\circ - 15k) \\ &= 180^\circ - 11k. \end{aligned}$ Al poner $180^\circ - 11k = \angle XOY = 17k$ se obtiene $k = \frac{45}{7},$ así que $\angle BAC = 180^\circ - 15 \cdot \frac{45}{7} = \frac{585}{7}$ grados, y los tres ángulos son agudos como se requiere. Entonces $m + n = 585 + 7 = 592.$

Let $M$ be the midpoint of $\overline{BC},$ so $A,$ $G,$ $M$ are collinear along the median, while $X,$ $G,$ $Y$ are collinear by definition. Since $OA \perp AX$ (tangent and radius) and $OG \perp GX,$ quadrilateral $OAXG$ is cyclic with diameter $\overline{OX}.$ Since $OG \perp GY$ and $OM \perp MY$ (the segment from the center to the midpoint of a chord is perpendicular to it), quadrilateral $OGYM$ is cyclic with diameter $\overline{OY}.$

In each circle the chord $\overline{OG}$ subtends equal angles, so $\angle OXY = \angle OXG$ $= \angle OAG = \angle OAM$ and $\angle OYX = \angle OYG$ $= \angle OMG = \angle OMA.$ Triangles $OXY$ and $OAM$ therefore have the same angle sums at their bases, giving $\begin{aligned} \angle XOY &= 180^\circ - \angle OXY \\ &\quad {}- \angle OYX \\ &= 180^\circ - \angle OAM \\ &\quad {}- \angle OMA \\ &= \angle AOM. \end{aligned}$

Write $\angle ABC = 13k$ and $\angle BCA = 2k,$ so $\angle BAC = 180^\circ - 15k.$ Central angles give $\angle AOB = 2\angle BCA = 4k,$ and $\overline{OM}$ bisects $\angle BOC = 2\angle BAC,$ so on the side of $B$ (nearer to $A$ ’s arc since $\angle ABC \gt \angle BCA$ ), $\begin{aligned} \angle AOM &= \angle AOB + \angle BOM \\ &= 4k + (180^\circ - 15k) \\ &= 180^\circ - 11k. \end{aligned}$ Setting $180^\circ - 11k = \angle XOY = 17k$ gives $k = \frac{45}{7},$ so $\angle BAC = 180^\circ - 15 \cdot \frac{45}{7} = \frac{585}{7}$ degrees, and all three angles are acute as required. Then $m + n = 585 + 7 = 592.$

15.

Sean $f(n)$ y $g(n)$ funciones que satisfacen $\begin{aligned} &f(n) = \\ &\quad \begin{cases} \sqrt{n} & \substack{\text{si } \sqrt{n} \text{ es} \\ \text{un entero}} \\ 1 + f(n+1) & \text{en otro caso} \end{cases} \end{aligned}$ y $\begin{aligned} &g(n) = \\ &\quad \begin{cases} \sqrt{n} & \substack{\text{si } \sqrt{n} \text{ es} \\ \text{un entero}} \\ 2 + g(n+2) & \text{en otro caso} \end{cases} \end{aligned}$ para enteros positivos $n.$ Halle el menor entero positivo $n$ tal que $\frac{f(n)}{g(n)} = \frac{4}{7}.$

Let $f(n)$ and $g(n)$ be functions satisfying $\begin{aligned} &f(n) = \\ &\quad \begin{cases} \sqrt{n} & \substack{\text{if } \sqrt{n} \text{ is} \\ \text{an integer}} \\ 1 + f(n+1) & \text{otherwise} \end{cases} \end{aligned}$ and $\begin{aligned} &g(n) = \\ &\quad \begin{cases} \sqrt{n} & \substack{\text{if } \sqrt{n} \text{ is} \\ \text{an integer}} \\ 2 + g(n+2) & \text{otherwise} \end{cases} \end{aligned}$ for positive integers $n.$ Find the least positive integer $n$ such that $\frac{f(n)}{g(n)} = \frac{4}{7}.$

Respuesta

Conceptos:función cuadrado perfecto paridad

Nivel de dificultad: 3160

Pista pequeña:

Si $k$ es el menor entero con $k^2 \ge n,$ entonces $f(n) = k + k^2 - n,$ y $g$ sube en pasos de $2$ hasta el menor cuadrado de la misma paridad que $n$

If $k$ is the least integer with $k^2 \ge n,$ then $f(n) = k + k^2 - n,$ and $g$ climbs by $2$ s to the least square of the same parity as $n$

Pista grande:

La razón difiere de $1$ solo cuando $k$ y $n$ tienen paridad opuesta; entonces $g - f = 2k + 2,$ así que $7f = 4g$ obliga a $3f = 8(k + 1)$

The ratio differs from $1$ only when $k$ and $n$ have opposite parity; then $g - f = 2k + 2,$ so $7f = 4g$ forces $3f = 8(k + 1)$

Solución:

Sea $k$ el menor entero con $k^2 \ge n.$ La función $f$ sube de a un paso hasta el siguiente cuadrado perfecto, así que $f(n) = k + (k^2 - n).$ La función $g$ sube en pasos de $2$ , preservando la paridad de su argumento, y $j^2 \equiv j \pmod 2,$ así que $g(n) = j + (j^2 - n)$ , donde $j$ es el menor entero con $j^2 \ge n$ y $j \equiv n \pmod 2.$ Si $k \equiv n \pmod 2$ , entonces $j = k$ y la razón es $1;$ así que necesitamos $k \not\equiv n \pmod 2,$ en cuyo caso $j = k + 1$ y $g(n) - f(n) = (k+1)^2 - k^2 + 1$ $= 2k + 2.$

Entonces $7f = 4g = 4f + 4(2k + 2)$ da $f = \frac{8(k+1)}{3},$ así que $k \equiv 2 \pmod 3$ y $n = k^2 + k - \frac{8(k+1)}{3},$ sujeto a $(k-1)^2 \lt n \le k^2$ y $n \not\equiv k \pmod 2.$

Para $k = 2, 5, 8, 11$ la fórmula da $n = -2, 14, 48, 100,$ cada uno fallando $n \gt (k-1)^2;$ para $k = 14,$ $n = 170$ está en el rango pero tiene la misma paridad que $k.$ Para $k = 17,$ $n = 289 + 17 - 48 = 258,$ que satisface $256 \lt 258 \le 289$ y es par mientras que $k$ es impar. En efecto, $f(258) = 17 + 31 = 48$ y $g(258) = 18 + 66 = 84,$ con $\frac{48}{84} = \frac{4}{7},$ así que el menor $n$ es $258.$

Let $k$ be the least integer with $k^2 \ge n.$ The function $f$ climbs one step at a time to the next perfect square, so $f(n) = k + (k^2 - n).$ The function $g$ climbs by $2$ s, preserving the parity of its argument, and $j^2 \equiv j \pmod 2,$ so $g(n) = j + (j^2 - n)$ where $j$ is the least integer with $j^2 \ge n$ and $j \equiv n \pmod 2.$ If $k \equiv n \pmod 2$ then $j = k$ and the ratio is $1;$ so we need $k \not\equiv n \pmod 2,$ in which case $j = k + 1$ and $g(n) - f(n) = (k+1)^2 - k^2 + 1$ $= 2k + 2.$

Then $7f = 4g = 4f + 4(2k + 2)$ gives $f = \frac{8(k+1)}{3},$ so $k \equiv 2 \pmod 3$ and $n = k^2 + k - \frac{8(k+1)}{3},$ subject to $(k-1)^2 \lt n \le k^2$ and $n \not\equiv k \pmod 2.$

For $k = 2, 5, 8, 11$ the formula gives $n = -2, 14, 48, 100,$ each failing $n \gt (k-1)^2;$ for $k = 14,$ $n = 170$ is in range but has the same parity as $k.$ For $k = 17,$ $n = 289 + 17 - 48 = 258,$ which satisfies $256 \lt 258 \le 289$ and is even while $k$ is odd. Indeed $f(258) = 17 + 31 = 48$ and $g(258) = 18 + 66 = 84,$ with $\frac{48}{84} = \frac{4}{7},$ so the least $n$ is $258.$