Question

Un automóvil viaja hacia el este a $\frac{2}{3}$ de milla por minuto por una carretera larga y recta. Al mismo tiempo, una tormenta circular, cuyo radio es de $51$ millas, se mueve hacia el sureste a $\frac{1}{2}\sqrt{2}$ de milla por minuto. En el instante $t = 0,$ el centro de la tormenta está $110$ millas al norte del automóvil. En el instante $t = t_1$ minutos, el automóvil entra en el círculo de la tormenta, y en el instante $t = t_2$ minutos, el automóvil sale del círculo de la tormenta. Halla $\frac{1}{2}(t_1 + t_2).$

A car travels due east at $\frac{2}{3}$ mile per minute on a long, straight road. At the same time, a circular storm, whose radius is $51$ miles, moves southeast at $\frac{1}{2}\sqrt{2}$ mile per minute. At time $t = 0,$ the center of the storm is $110$ miles due north of the car. At time $t = t_1$ minutes, the car enters the storm circle, and at time $t = t_2$ minutes, the car leaves the storm circle. Find $\frac{1}{2}(t_1 + t_2).$

Respuesta

Respuesta: 198

Conceptos:geometría analítica fórmula de la distancia Fórmulas de Vieta

Nivel de dificultad: 2400

Pista pequeña:

Establece coordenadas: el automóvil está en $\left(\frac{2t}{3}, 0\right)$ y el centro de la tormenta en $\left(\frac{t}{2}, 110 - \frac{t}{2}\right)$

Set up coordinates: the car is at $\left(\frac{2t}{3}, 0\right)$ and the storm center at $\left(\frac{t}{2}, 110 - \frac{t}{2}\right)$

Pista grande:

La entrada y la salida ocurren cuando la distancia al cuadrado es igual a $51^2;$ eso es una ecuación cuadrática en $t,$ así que usa las fórmulas de Vieta para $t_1 + t_2$

Entering and leaving happen when the squared distance equals $51^2;$ that is a quadratic in $t,$ so use Vieta’s formulas for $t_1 + t_2$

Solución:

Coloca el automóvil en el origen en $t = 0,$ con el este como la dirección positiva del eje $x$ y el norte como la dirección positiva del eje $y$ . En el instante $t$ el automóvil está en $\left(\frac{2t}{3}, 0\right),$ y el centro de la tormenta, que se mueve hacia el sureste a velocidad $\frac{\sqrt{2}}{2}$ (con componentes $\frac{1}{2}$ hacia el este y $\frac{1}{2}$ hacia el sur), está en $\left(\frac{t}{2}, 110 - \frac{t}{2}\right).$

El automóvil está en la frontera de la tormenta cuando la distancia al cuadrado es $51^2:$ $\begin{aligned} &\left(\frac{2t}{3} - \frac{t}{2}\right)^2 \\ &\quad {}+ \left(110 - \frac{t}{2}\right)^2 = 51^2. \end{aligned}$ Es decir, $\frac{t^2}{36} + \frac{t^2}{4}$ $- 110t + 12100 - 2601 = 0,$ o bien $\frac{5}{18}t^2 - 110t + 9499 = 0.$

Las raíces son $t_1$ y $t_2,$ así que por las fórmulas de Vieta $t_1 + t_2 = \frac{110 \cdot 18}{5} = 396,$ y $\frac{1}{2}(t_1 + t_2) = 198.$

Put the car at the origin at $t = 0,$ with east as the positive $x$ -direction and north as the positive $y$ -direction. At time $t$ the car is at $\left(\frac{2t}{3}, 0\right),$ and the storm center, moving southeast at speed $\frac{\sqrt{2}}{2}$ (components $\frac{1}{2}$ east and $\frac{1}{2}$ south), is at $\left(\frac{t}{2}, 110 - \frac{t}{2}\right).$

The car is on the storm boundary when the squared distance is $51^2:$ $\begin{aligned} &\left(\frac{2t}{3} - \frac{t}{2}\right)^2 \\ &\quad {}+ \left(110 - \frac{t}{2}\right)^2 = 51^2, \end{aligned}$ that is $\frac{t^2}{36} + \frac{t^2}{4}$ $- 110t + 12100 - 2601 = 0,$ or $\frac{5}{18}t^2 - 110t + 9499 = 0.$

The roots are $t_1$ and $t_2,$ so by Vieta’s formulas $t_1 + t_2 = \frac{110 \cdot 18}{5} = 396,$ and $\frac{1}{2}(t_1 + t_2) = 198.$

1997 AIME Problema 7

Respuesta: 198

Nivel de dificultad: 2400

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 7 en otros años