Soluciones del 1997 AIME | LIVE by Po-Shen Loh

1.

¿Cuántos de los enteros entre $1$ y $1000,$ inclusive, se pueden expresar como la diferencia de los cuadrados de dos enteros no negativos?

How many of the integers between $1$ and $1000,$ inclusive, can be expressed as the difference of the squares of two nonnegative integers?

Respuesta

Conceptos:diferencia de cuadrados paridad

Nivel de dificultad: 1890

Solución:

Escribe $n = a^2 - b^2 = (a - b)(a + b).$ Los factores $a - b$ y $a + b$ difieren en el número par $2b,$ así que tienen la misma paridad. Si ambos son impares, $n$ es impar; si ambos son pares, $4 \mid n.$ Por lo tanto, ningún entero $n \equiv 2 \pmod 4$ es diferencia de dos cuadrados.

Recíprocamente, todo número impar $2k + 1$ es igual a $(k+1)^2 - k^2,$ y todo múltiplo de $4,$ digamos $4k,$ es igual a $(k+1)^2 - (k-1)^2$ (con $k - 1 \ge 0$ ya que $k \ge 1$ ).

Entre $1$ y $1000$ hay $500$ números impares y $250$ múltiplos de $4,$ lo que da un total de $500 + 250 = 750.$

Write $n = a^2 - b^2 = (a - b)(a + b).$ The factors $a - b$ and $a + b$ differ by the even number $2b,$ so they have the same parity. If both are odd, $n$ is odd; if both are even, $4 \mid n.$ Hence no integer $n \equiv 2 \pmod 4$ is a difference of two squares.

Conversely, every odd number $2k + 1$ equals $(k+1)^2 - k^2,$ and every multiple of $4,$ say $4k,$ equals $(k+1)^2 - (k-1)^2$ (with $k - 1 \ge 0$ since $k \ge 1$ ).

Between $1$ and $1000$ there are $500$ odd numbers and $250$ multiples of $4,$ for a total of $500 + 250 = 750.$

2.

Las nueve líneas horizontales y nueve líneas verticales de un tablero $8 \times 8$ forman $r$ rectángulos, de los cuales $s$ son cuadrados. El número $s/r$ se puede escribir en la forma $m/n,$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m + n.$

The nine horizontal and nine vertical lines on an $8 \times 8$ checkerboard form $r$ rectangles, of which $s$ are squares. The number $s/r$ can be written in the form $m/n,$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Conceptos:conteo de figuras en diagramas combinaciones suma de los primeros n cuadrados

Nivel de dificultad: 1890

Solución:

Un rectángulo queda determinado al elegir dos de las nueve líneas horizontales y dos de las nueve líneas verticales, así que $r = \binom{9}{2}^2 = 36^2 = 1296.$

Un cuadrado $k \times k$ se puede colocar en $(9 - k)^2$ posiciones, así que $\begin{aligned} s &= \sum_{k=1}^{8} (9 - k)^2 \\ &= 8^2 + 7^2 + \cdots + 1^2 \\ &= \frac{8 \cdot 9 \cdot 17}{6} = 204. \end{aligned}$

Entonces $\frac{s}{r} = \frac{204}{1296} = \frac{17}{108},$ que ya está en su forma más simple, así que $m + n = 17 + 108 = 125.$

A rectangle is determined by choosing two of the nine horizontal lines and two of the nine vertical lines, so $r = \binom{9}{2}^2 = 36^2 = 1296.$

A $k \times k$ square can be placed in $(9 - k)^2$ positions, so $\begin{aligned} s &= \sum_{k=1}^{8} (9 - k)^2 \\ &= 8^2 + 7^2 + \cdots + 1^2 \\ &= \frac{8 \cdot 9 \cdot 17}{6} = 204. \end{aligned}$

Then $\frac{s}{r} = \frac{204}{1296} = \frac{17}{108},$ which is in lowest terms, so $m + n = 17 + 108 = 125.$

3.

Sarah pretendía multiplicar un número de dos cifras por un número de tres cifras, pero omitió el signo de multiplicación y simplemente colocó el número de dos cifras a la izquierda del número de tres cifras, formando así un número de cinco cifras. Este número es exactamente nueve veces el producto que Sarah debería haber obtenido. ¿Cuál es la suma del número de dos cifras y el número de tres cifras?

Sarah intended to multiply a two-digit number and a three-digit number, but she left out the multiplication sign and simply placed the two-digit number to the left of the three-digit number, thereby forming a five-digit number. This number is exactly nine times the product Sarah should have obtained. What is the sum of the two-digit number and the three-digit number?

Respuesta

Conceptos:valor posicional Ecuación diofántica divisibilidad

Nivel de dificultad: 2110

Solución:

Sea $a$ el número de dos cifras y $b$ el número de tres cifras. La condición es $1000a + b = 9ab,$ que se reordena como $b(9a - 1) = 1000a.$ Como $\gcd(9a - 1, a) = 1,$ el número $9a - 1$ debe dividir a $1000.$

Para un $a$ de dos cifras, $9a - 1$ va desde $89$ hasta $890,$ y $9a - 1 \equiv 8 \pmod 9.$ El único divisor de $1000$ en ese rango congruente con $8$ módulo $9$ es $125,$ lo que da $a = 14$ y $b = \frac{1000 \cdot 14}{125} = 112,$ que en efecto es un número de tres cifras. Comprobación: $14112 = 9 \cdot 14 \cdot 112.$

La suma pedida es $14 + 112 = 126.$

Let $a$ be the two-digit number and $b$ the three-digit number. The condition is $1000a + b = 9ab,$ which rearranges to $b(9a - 1) = 1000a.$ Since $\gcd(9a - 1, a) = 1,$ the number $9a - 1$ must divide $1000.$

For a two-digit $a,$ $9a - 1$ runs from $89$ to $890,$ and $9a - 1 \equiv 8 \pmod 9.$ The only divisor of $1000$ in that range congruent to $8$ modulo $9$ is $125,$ giving $a = 14$ and $b = \frac{1000 \cdot 14}{125} = 112,$ which is indeed a three-digit number. Check: $14112 = 9 \cdot 14 \cdot 112.$

The requested sum is $14 + 112 = 126.$

4.

Los círculos de radios $5,$ $5,$ $8,$ y $\frac{m}{n}$ son mutuamente tangentes externamente, donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m + n.$

Circles of radii $5,$ $5,$ $8,$ and $\frac{m}{n}$ are mutually externally tangent, where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Conceptos:circunferencias tangentes Teorema de Pitágoras mediatriz

Nivel de dificultad: 2390

Solución:

Los círculos de radio $5$ tienen centros $P_1$ y $P_2,$ de modo que $P_1P_2 = 5 + 5 = 10,$ y sea $M$ el punto medio. El círculo de radio $8$ tiene centro $Q$ que cumple $QP_1 = QP_2 = 13,$ así que $Q$ está sobre la mediatriz de $\overline{P_1P_2}$ a distancia $\sqrt{13^2 - 5^2} = 12$ de $M.$ Del mismo modo, el cuarto círculo, de radio $r,$ tiene su centro $R$ sobre la misma mediatriz con $RP_1 = 5 + r,$ así que $RM = \sqrt{(5+r)^2 - 25}$ $= \sqrt{r^2 + 10r}.$

El círculo pequeño se aloja en el espacio entre los otros tres, así que $R$ está entre $M$ y $Q,$ y la tangencia externa con el círculo de radio $8$ da $12 - \sqrt{r^2 + 10r} = 8 + r.$ Entonces $\sqrt{r^2 + 10r} = 4 - r,$ y al elevar al cuadrado se obtiene $r^2 + 10r = 16 - 8r + r^2,$ así que $18r = 16$ y $r = \frac{8}{9}.$

Por lo tanto $m + n = 8 + 9 = 17.$

Let the radius- $5$ circles have centers $P_1$ and $P_2,$ so $P_1P_2 = 5 + 5 = 10,$ and let $M$ be the midpoint. The radius- $8$ circle's center $Q$ satisfies $QP_1 = QP_2 = 13,$ so $Q$ lies on the perpendicular bisector of $\overline{P_1P_2}$ at distance $\sqrt{13^2 - 5^2} = 12$ from $M.$ Likewise the fourth circle, of radius $r,$ has its center $R$ on the same perpendicular bisector with $RP_1 = 5 + r,$ so $RM = \sqrt{(5+r)^2 - 25}$ $= \sqrt{r^2 + 10r}.$

The small circle nestles in the space between the other three, so $R$ is between $M$ and $Q,$ and external tangency to the radius- $8$ circle gives $12 - \sqrt{r^2 + 10r} = 8 + r.$ Then $\sqrt{r^2 + 10r} = 4 - r,$ and squaring yields $r^2 + 10r = 16 - 8r + r^2,$ so $18r = 16$ and $r = \frac{8}{9}.$

Thus $m + n = 8 + 9 = 17.$

5.

El número $r$ se puede expresar como un decimal de cuatro cifras $0.abcd,$ donde $a,$ $b,$ $c,$ y $d$ representan dígitos, cualquiera de los cuales podría ser cero. Se desea aproximar $r$ mediante una fracción cuyo numerador sea $1$ o $2$ y cuyo denominador sea un entero. La fracción de ese tipo más cercana a $r$ es $\frac{2}{7}.$ ¿Cuál es el número de valores posibles de $r$ ?

The number $r$ can be expressed as a four-place decimal $0.abcd,$ where $a,$ $b,$ $c,$ and $d$ represent digits, any of which could be zero. It is desired to approximate $r$ by a fraction whose numerator is $1$ or $2$ and whose denominator is an integer. The closest such fraction to $r$ is $\frac{2}{7}.$ What is the number of possible values for $r?$

Respuesta

Conceptos:fracción decimal conteo de enteros en un rango

Nivel de dificultad: 2450

Solución:

Entre las fracciones con numerador $1$ o $2,$ los vecinos más cercanos de $\frac{2}{7} \approx 0.2857$ son $\frac{1}{4} = 0.25$ por debajo (nótese que $\frac{2}{8} = \frac{1}{4}$ ) y $\frac{1}{3} \approx 0.3333$ por encima (nótese que $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ ); ningún otro candidato queda entre ellos. Así que $\frac{2}{7}$ es la única fracción más cercana a $r$ exactamente cuando $r$ está más cerca de $\frac{2}{7}$ que de $\frac{1}{4}$ y $\frac{1}{3},$ es decir, cuando $r$ queda estrictamente entre los puntos medios $\begin{aligned} \frac{1}{2}\left(\frac{1}{4} + \frac{2}{7}\right) &= \frac{15}{56} \\ &= 0.26785\ldots \end{aligned}$ y $\begin{aligned} \frac{1}{2}\left(\frac{2}{7} + \frac{1}{3}\right) &= \frac{13}{42} \\ &= 0.30952\ldots. \end{aligned}$

Los decimales de cuatro cifras en ese intervalo son $0.2679, 0.2680, \ldots, 0.3095,$ y hay $3095 - 2679 + 1 = 417$ de ellos.

Among fractions with numerator $1$ or $2,$ the closest neighbors of $\frac{2}{7} \approx 0.2857$ are $\frac{1}{4} = 0.25$ below (note $\frac{2}{8} = \frac{1}{4}$ ) and $\frac{1}{3} \approx 0.3333$ above (note $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ ); no other candidate lies between them. So $\frac{2}{7}$ is the unique closest fraction to $r$ exactly when $r$ is closer to $\frac{2}{7}$ than to both $\frac{1}{4}$ and $\frac{1}{3},$ i.e. when $r$ lies strictly between the midpoints $\begin{aligned} \frac{1}{2}\left(\frac{1}{4} + \frac{2}{7}\right) &= \frac{15}{56} \\ &= 0.26785\ldots \end{aligned}$ and $\begin{aligned} \frac{1}{2}\left(\frac{2}{7} + \frac{1}{3}\right) &= \frac{13}{42} \\ &= 0.30952\ldots. \end{aligned}$

The four-place decimals in that interval are $0.2679, 0.2680, \ldots, 0.3095,$ and there are $3095 - 2679 + 1 = 417$ of them.

6.

El punto $B$ está en el exterior del polígono regular de $n$ lados $A_1A_2\cdots A_n,$ y $A_1A_2B$ es un triángulo equilátero. ¿Cuál es el mayor valor de $n$ para el cual $A_n,$ $A_1,$ y $B$ son vértices consecutivos de un polígono regular?

Point $B$ is in the exterior of the regular $n$ -sided polygon $A_1A_2\cdots A_n,$ and $A_1A_2B$ is an equilateral triangle. What is the largest value of $n$ for which $A_n,$ $A_1,$ and $B$ are consecutive vertices of a regular polygon?

Respuesta

Conceptos:polígono regular suma de ángulos divisibilidad

Nivel de dificultad: 2300

Solución:

Como $B$ está fuera del $n$ -ágono, los ángulos en $A_1,$ a saber el ángulo interior $\angle A_nA_1A_2 = \frac{(n-2)180^\circ}{n},$ el ángulo equilátero $\angle A_2A_1B = 60^\circ,$ y $\angle BA_1A_n,$ completan una vuelta entera, así que $\begin{aligned} \angle BA_1A_n &= 300^\circ - \frac{(n-2)180^\circ}{n} \\ &= 120^\circ + \frac{360^\circ}{n}. \end{aligned}$ Además $A_nA_1 = A_1B,$ ya que ambos son iguales al lado del $n$ -ágono.

Para que $A_n,$ $A_1,$ $B$ sean vértices consecutivos de un $m$ -ágono regular, este ángulo debe ser el ángulo interior del $m$ -ágono: $120^\circ + \frac{360^\circ}{n} = 180^\circ - \frac{360^\circ}{m},$ que se simplifica a $\frac{1}{m} = \frac{1}{6} - \frac{1}{n},$ así que $m = \frac{6n}{n - 6} = 6 + \frac{36}{n - 6}.$

Por lo tanto $n - 6$ debe dividir a $36,$ y la mayor opción es $n - 6 = 36,$ es decir $n = 42$ (con $m = 7$ ).

Since $B$ is outside the $n$ -gon, the angles at $A_1$ — the interior angle $\angle A_nA_1A_2 = \frac{(n-2)180^\circ}{n},$ the equilateral angle $\angle A_2A_1B = 60^\circ,$ and $\angle BA_1A_n$ — fill a full revolution, so $\begin{aligned} \angle BA_1A_n &= 300^\circ - \frac{(n-2)180^\circ}{n} \\ &= 120^\circ + \frac{360^\circ}{n}. \end{aligned}$ Also $A_nA_1 = A_1B,$ since both equal the side of the $n$ -gon.

For $A_n,$ $A_1,$ $B$ to be consecutive vertices of a regular $m$ -gon, this angle must be the $m$ -gon's interior angle: $120^\circ + \frac{360^\circ}{n} = 180^\circ - \frac{360^\circ}{m},$ which simplifies to $\frac{1}{m} = \frac{1}{6} - \frac{1}{n},$ so $m = \frac{6n}{n - 6} = 6 + \frac{36}{n - 6}.$

Thus $n - 6$ must divide $36,$ and the largest choice is $n - 6 = 36,$ i.e. $n = 42$ (with $m = 7$ ).

7.

Un automóvil viaja hacia el este a $\frac{2}{3}$ de milla por minuto por una carretera larga y recta. Al mismo tiempo, una tormenta circular, cuyo radio es de $51$ millas, se mueve hacia el sureste a $\frac{1}{2}\sqrt{2}$ de milla por minuto. En el instante $t = 0,$ el centro de la tormenta está $110$ millas al norte del automóvil. En el instante $t = t_1$ minutos, el automóvil entra en el círculo de la tormenta, y en el instante $t = t_2$ minutos, el automóvil sale del círculo de la tormenta. Halla $\frac{1}{2}(t_1 + t_2).$

A car travels due east at $\frac{2}{3}$ mile per minute on a long, straight road. At the same time, a circular storm, whose radius is $51$ miles, moves southeast at $\frac{1}{2}\sqrt{2}$ mile per minute. At time $t = 0,$ the center of the storm is $110$ miles due north of the car. At time $t = t_1$ minutes, the car enters the storm circle, and at time $t = t_2$ minutes, the car leaves the storm circle. Find $\frac{1}{2}(t_1 + t_2).$

Respuesta

Conceptos:geometría analítica fórmula de la distancia Fórmulas de Vieta

Nivel de dificultad: 2400

Solución:

Coloca el automóvil en el origen en $t = 0,$ con el este como la dirección positiva del eje $x$ y el norte como la dirección positiva del eje $y.$ En el instante $t$ el automóvil está en $\left(\frac{2t}{3}, 0\right),$ y el centro de la tormenta, que se mueve hacia el sureste a velocidad $\frac{\sqrt{2}}{2}$ (con componentes $\frac{1}{2}$ hacia el este y $\frac{1}{2}$ hacia el sur), está en $\left(\frac{t}{2}, 110 - \frac{t}{2}\right).$

El automóvil está en la frontera de la tormenta cuando la distancia al cuadrado es $51^2:$ $\begin{aligned} &\left(\frac{2t}{3} - \frac{t}{2}\right)^2 \\ &\quad {}+ \left(110 - \frac{t}{2}\right)^2 = 51^2, \end{aligned}$ es decir $\frac{t^2}{36} + \frac{t^2}{4}$ $- 110t + 12100 - 2601 = 0,$ o bien $\frac{5}{18}t^2 - 110t + 9499 = 0.$

Las raíces son $t_1$ y $t_2,$ así que por las fórmulas de Vieta $t_1 + t_2 = \frac{110 \cdot 18}{5} = 396,$ y $\frac{1}{2}(t_1 + t_2) = 198.$

Put the car at the origin at $t = 0,$ with east as the positive $x$ -direction and north as the positive $y$ -direction. At time $t$ the car is at $\left(\frac{2t}{3}, 0\right),$ and the storm center, moving southeast at speed $\frac{\sqrt{2}}{2}$ (components $\frac{1}{2}$ east and $\frac{1}{2}$ south), is at $\left(\frac{t}{2}, 110 - \frac{t}{2}\right).$

The car is on the storm boundary when the squared distance is $51^2:$ $\begin{aligned} &\left(\frac{2t}{3} - \frac{t}{2}\right)^2 \\ &\quad {}+ \left(110 - \frac{t}{2}\right)^2 = 51^2, \end{aligned}$ that is $\frac{t^2}{36} + \frac{t^2}{4}$ $- 110t + 12100 - 2601 = 0,$ or $\frac{5}{18}t^2 - 110t + 9499 = 0.$

The roots are $t_1$ and $t_2,$ so by Vieta's formulas $t_1 + t_2 = \frac{110 \cdot 18}{5} = 396,$ and $\frac{1}{2}(t_1 + t_2) = 198.$

8.

¿Cuántos arreglos $4 \times 4$ distintos, cuyas entradas son todas $1$ y $-1,$ tienen la propiedad de que la suma de las entradas en cada fila es $0$ y la suma de las entradas en cada columna es $0$ ?

How many different $4 \times 4$ arrays whose entries are all $1$ 's and $-1$ 's have the property that the sum of the entries in each row is $0$ and the sum of the entries in each column is $0?$

Respuesta

Conceptos:arreglos con restricciones análisis por casos

Nivel de dificultad: 2560

Solución:

Cada fila debe contener dos $1$ y dos $-1,$ así que identifica cada fila con el par de columnas que contienen sus $1;$ cada columna debe terminar elegida por exactamente dos filas. Hay $\binom{4}{2} = 6$ opciones para la fila $1.$ Clasifica según cómo la fila $2$ se superpone con la fila $1.$

Si la fila $2$ usa el mismo par ( $1$ manera), esas dos columnas quedan llenas, así que las filas $3$ y $4$ deben usar ambas el par complementario: $1$ forma de completar. Si la fila $2$ usa el par complementario ( $1$ manera), hasta ahora cada columna tiene un $1,$ así que las filas $3$ y $4$ solo necesitan ser un par complementario entre sí: $6$ opciones para la fila $3,$ la fila $4$ queda determinada, dando $6$ formas de completar. Si la fila $2$ comparte exactamente una columna con la fila $1$ ( $2 \cdot 2 = 4$ maneras), una columna queda llena, dos tienen un $1,$ y una queda vacía; las filas $3$ y $4$ deben tomar cada una la columna vacía junto con una de las dos columnas medio llenas, así que hay $2$ formas de completar.

El total es $6\,(1 \cdot 1 + 1 \cdot 6 + 4 \cdot 2) = 6 \cdot 15$ $= 90.$

Each row must contain two $1$ 's and two $-1$ 's, so identify each row with the pair of columns holding its $1$ 's; each column must end up chosen by exactly two rows. There are $\binom{4}{2} = 6$ choices for row $1.$ Classify by how row $2$ overlaps row $1.$

If row $2$ uses the same pair ( $1$ way), those two columns are full, so rows $3$ and $4$ must both use the complementary pair: $1$ completion. If row $2$ uses the complementary pair ( $1$ way), every column has one $1$ so far, so rows $3$ and $4$ need only be a complementary pair themselves: $6$ choices for row $3,$ row $4$ forced, giving $6$ completions. If row $2$ shares exactly one column with row $1$ ( $2 \cdot 2 = 4$ ways), one column is full, two have one $1,$ and one is empty; rows $3$ and $4$ must each take the empty column together with one of the two half-filled columns, so there are $2$ completions.

The total is $6\,(1 \cdot 1 + 1 \cdot 6 + 4 \cdot 2) = 6 \cdot 15$ $= 90.$

9.

Dado un número real no negativo $x,$ sea $\langle x\rangle$ la parte fraccionaria de $x;$ es decir, $\langle x\rangle = x - \lfloor x\rfloor,$ donde $\lfloor x\rfloor$ denota el mayor entero menor o igual que $x.$ Supón que $a$ es positivo, $\langle a^{-1}\rangle = \langle a^2\rangle,$ y $2 \lt a^2 \lt 3.$ Halla el valor de $a^{12} - 144a^{-1}.$

Given a nonnegative real number $x,$ let $\langle x\rangle$ denote the fractional part of $x;$ that is, $\langle x\rangle = x - \lfloor x\rfloor,$ where $\lfloor x\rfloor$ denotes the greatest integer less than or equal to $x.$ Suppose that $a$ is positive, $\langle a^{-1}\rangle = \langle a^2\rangle,$ and $2 \lt a^2 \lt 3.$ Find the value of $a^{12} - 144a^{-1}.$

Respuesta

Conceptos:funciones piso y techo factorización manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 2560

Solución:

De $2 \lt a^2 \lt 3$ obtenemos $\sqrt{2} \lt a \lt \sqrt{3},$ así que $0 \lt a^{-1} \lt 1$ y $\langle a^{-1}\rangle = a^{-1},$ mientras que $\langle a^2\rangle = a^2 - 2.$ La condición se convierte en $a^{-1} = a^2 - 2,$ es decir $a^3 - 2a - 1 = 0,$ que se factoriza como $(a + 1)(a^2 - a - 1) = 0.$ Como $a \gt 0,$ obtenemos $a = \frac{1 + \sqrt{5}}{2},$ la razón áurea, y en efecto $a^2 = a + 1 \approx 2.618$ está en $(2, 3).$

Usando $a^2 = a + 1$ repetidamente: $a^4 = (a+1)^2 = 3a + 2,$ $a^8 = (3a+2)^2$ $= 9(a+1) + 12a + 4$ $= 21a + 13,$ y $a^{12} = a^8 a^4$ $= (21a + 13)(3a + 2)$ $= 63(a+1) + 81a + 26$ $= 144a + 89.$ También $a^{-1} = a - 1$ a partir de $a^2 = a + 1.$

Por lo tanto $a^{12} - 144a^{-1}$ $= 144a + 89 - 144(a - 1)$ $= 89 + 144 = 233.$

From $2 \lt a^2 \lt 3$ we get $\sqrt{2} \lt a \lt \sqrt{3},$ so $0 \lt a^{-1} \lt 1$ and $\langle a^{-1}\rangle = a^{-1},$ while $\langle a^2\rangle = a^2 - 2.$ The condition becomes $a^{-1} = a^2 - 2,$ i.e. $a^3 - 2a - 1 = 0,$ which factors as $(a + 1)(a^2 - a - 1) = 0.$ Since $a \gt 0,$ we get $a = \frac{1 + \sqrt{5}}{2},$ the golden ratio, and indeed $a^2 = a + 1 \approx 2.618$ lies in $(2, 3).$

Using $a^2 = a + 1$ repeatedly: $a^4 = (a+1)^2 = 3a + 2,$ $a^8 = (3a+2)^2$ $= 9(a+1) + 12a + 4$ $= 21a + 13,$ and $a^{12} = a^8 a^4$ $= (21a + 13)(3a + 2)$ $= 63(a+1) + 81a + 26$ $= 144a + 89.$ Also $a^{-1} = a - 1$ from $a^2 = a + 1.$

Therefore $a^{12} - 144a^{-1}$ $= 144a + 89 - 144(a - 1)$ $= 89 + 144 = 233.$

10.

Cada carta de una baraja tiene el dibujo de una forma: círculo, cuadrado o triángulo, que está pintada en uno de tres colores: rojo, azul o verde. Además, cada color se aplica en uno de tres tonos: claro, medio u oscuro. La baraja tiene $27$ cartas, con cada combinación de forma, color y tono representada. Un conjunto de tres cartas de la baraja se llama complementario si todas las afirmaciones siguientes son verdaderas:

• Las tres cartas tienen o bien cada una una forma distinta, o bien las tres la misma forma.

• Las tres cartas tienen o bien cada una un color distinto, o bien las tres el mismo color.

• Las tres cartas tienen o bien cada una un tono distinto, o bien las tres el mismo tono.

¿Cuántos conjuntos complementarios distintos de tres cartas hay?

Every card in a deck has a picture of one shape — circle, square, or triangle, which is painted in one of the three colors — red, blue, or green. Furthermore, each color is applied in one of three shades — light, medium, or dark. The deck has $27$ cards, with every shape-color-shade combination represented. A set of three cards from the deck is called complementary if all of the following statements are true:

• Either each of the three cards has a different shape or all three of the cards have the same shape.

• Either each of the three cards has a different color or all three of the cards have the same color.

• Either each of the three cards has a different shade or all three of the cards have the same shade.

How many different complementary three-card sets are there?

Respuesta

Conceptos:conteo de pares doble conteo

Nivel de dificultad: 2450

Solución:

Dadas dos cartas distintas cualesquiera, hay exactamente una carta que las completa a un conjunto complementario: en cada atributo, si las dos cartas coinciden, la tercera carta debe compartir ese valor, y si difieren, la tercera debe tomar el único valor restante. La carta que las completa es distinta de ambas (las dos cartas dadas difieren en algún atributo, y en ese atributo la tercera carta difiere de cada una).

Así que los $\binom{27}{2} = 351$ pares de cartas se extienden cada uno a un conjunto complementario, y cada conjunto complementario es producido por $\binom{3}{2} = 3$ de estos pares. El número de conjuntos es $\frac{351}{3} = 117.$

Given any two distinct cards, there is exactly one card completing them to a complementary set: in each attribute, if the two cards agree, the third card must share that value, and if they differ, the third must take the one remaining value. The completing card is distinct from both (the two given cards differ somewhere, and in that attribute the third card differs from each).

So the $\binom{27}{2} = 351$ pairs of cards each extend to one complementary set, and each complementary set is produced by $\binom{3}{2} = 3$ of these pairs. The number of sets is $\frac{351}{3} = 117.$

11.

Sea $x = \frac{\displaystyle\sum_{n=1}^{44} \cos n^\circ}{\displaystyle\sum_{n=1}^{44} \sin n^\circ}.$ ¿Cuál es el mayor entero que no excede a $100x$ ?

Let $x = \frac{\displaystyle\sum_{n=1}^{44} \cos n^\circ}{\displaystyle\sum_{n=1}^{44} \sin n^\circ}.$ What is the greatest integer that does not exceed $100x?$

Respuesta

Conceptos:identidad trigonométrica telescópica

Nivel de dificultad: 2710

Solución:

Multiplica el numerador y el denominador por $2\sin\frac{1}{2}^\circ.$ Como $2\cos n^\circ \sin\frac{1}{2}^\circ$ $= \sin\left(n + \frac{1}{2}\right)^\circ$ $- \sin\left(n - \frac{1}{2}\right)^\circ$ y $2\sin n^\circ \sin\frac{1}{2}^\circ$ $= \cos\left(n - \frac{1}{2}\right)^\circ$ $- \cos\left(n + \frac{1}{2}\right)^\circ,$ ambas sumas se telescopan: $\begin{aligned} x &= \frac{\sin 44.5^\circ - \sin 0.5^\circ}{\cos 0.5^\circ - \cos 44.5^\circ} \\ &= \frac{2\cos 22.5^\circ \sin 22^\circ}{2\sin 22.5^\circ \sin 22^\circ} \\ &= \cot 22.5^\circ, \end{aligned}$ usando las identidades de suma a producto en el último paso.

Por la fórmula del ángulo medio, $\cot 22.5^\circ = \frac{1 + \cos 45^\circ}{\sin 45^\circ} = \sqrt{2} + 1.$ Por lo tanto $100x = 100\sqrt{2} + 100$ $= 241.42\ldots,$ y el mayor entero que no lo excede es $241.$

Multiply numerator and denominator by $2\sin\frac{1}{2}^\circ.$ Since $2\cos n^\circ \sin\frac{1}{2}^\circ$ $= \sin\left(n + \frac{1}{2}\right)^\circ$ $- \sin\left(n - \frac{1}{2}\right)^\circ$ and $2\sin n^\circ \sin\frac{1}{2}^\circ$ $= \cos\left(n - \frac{1}{2}\right)^\circ$ $- \cos\left(n + \frac{1}{2}\right)^\circ,$ both sums telescope: $\begin{aligned} x &= \frac{\sin 44.5^\circ - \sin 0.5^\circ}{\cos 0.5^\circ - \cos 44.5^\circ} \\ &= \frac{2\cos 22.5^\circ \sin 22^\circ}{2\sin 22.5^\circ \sin 22^\circ} \\ &= \cot 22.5^\circ, \end{aligned}$ using the sum-to-product identities in the last step.

By the half-angle formula, $\cot 22.5^\circ = \frac{1 + \cos 45^\circ}{\sin 45^\circ} = \sqrt{2} + 1.$ Hence $100x = 100\sqrt{2} + 100$ $= 241.42\ldots,$ and the greatest integer not exceeding it is $241.$

12.

La función $f$ definida por $f(x) = \frac{ax + b}{cx + d},$ donde $a,$ $b,$ $c,$ y $d$ son números reales no nulos, tiene las propiedades $f(19) = 19,$ $f(97) = 97,$ y $f(f(x)) = x$ para todos los valores excepto $\frac{-d}{c}.$ Halla el único número que no está en el rango de $f.$

The function $f$ defined by $f(x) = \frac{ax + b}{cx + d},$ where $a,$ $b,$ $c,$ and $d$ are nonzero real numbers, has the properties $f(19) = 19,$ $f(97) = 97,$ and $f(f(x)) = x$ for all values except $\frac{-d}{c}.$ Find the unique number that is not in the range of $f.$

Respuesta

Conceptos:ecuación funcional ecuación racional Fórmulas de Vieta

Nivel de dificultad: 2560

Solución:

Al componer, $f(f(x)) = \frac{(a^2 + bc)x + b(a + d)}{c(a + d)x + (bc + d^2)},$ y esto es igual a $x$ de manera idéntica solo si $c(a + d) = 0.$ Como $c \ne 0,$ obtenemos $d = -a,$ así que $f(x) = \frac{ax + b}{cx - a}.$

Un punto fijo cumple $cx^2 - ax = ax + b,$ es decir $cx^2 - 2ax - b = 0,$ cuyas raíces son $19$ y $97.$ Por las fórmulas de Vieta, $19 + 97 = \frac{2a}{c},$ así que $\frac{a}{c} = 58.$

Por último, $y$ está en el rango exactamente cuando $y = \frac{ax + b}{cx - a}$ tiene solución, es decir $x(cy - a) = ay + b.$ Esto se resuelve para $x$ salvo que $cy - a = 0;$ y cuando $y = \frac{a}{c},$ el lado derecho $\frac{a^2}{c} + b = \frac{a^2 + bc}{c}$ es no nulo (de lo contrario $f$ sería constante). Así que el único número que no está en el rango es $\frac{a}{c} = 58.$

Composing, $f(f(x)) = \frac{(a^2 + bc)x + b(a + d)}{c(a + d)x + (bc + d^2)},$ and this equals $x$ identically only if $c(a + d) = 0.$ Since $c \ne 0,$ we get $d = -a,$ so $f(x) = \frac{ax + b}{cx - a}.$

A fixed point satisfies $cx^2 - ax = ax + b,$ i.e. $cx^2 - 2ax - b = 0,$ whose roots are $19$ and $97.$ By Vieta's formulas, $19 + 97 = \frac{2a}{c},$ so $\frac{a}{c} = 58.$

Finally, $y$ is in the range exactly when $y = \frac{ax + b}{cx - a}$ has a solution, i.e. $x(cy - a) = ay + b.$ This solves for $x$ unless $cy - a = 0;$ and when $y = \frac{a}{c},$ the right side $\frac{a^2}{c} + b = \frac{a^2 + bc}{c}$ is nonzero (otherwise $f$ would be constant). So the unique number not in the range is $\frac{a}{c} = 58.$

13.

Sea $S$ el conjunto de puntos del plano cartesiano que satisfacen $\begin{aligned} &\Bigl|\bigl||x| - 2\bigr| - 1\Bigr| \\ &\quad {}+ \Bigl|\bigl||y| - 2\bigr| - 1\Bigr| = 1. \end{aligned}$ Si se construyera un modelo de $S$ con alambre de grosor despreciable, la longitud total de alambre necesaria sería $a\sqrt{b},$ donde $a$ y $b$ son enteros positivos y $b$ no es divisible por el cuadrado de ningún número primo. Halla $a + b.$

Let $S$ be the set of points in the Cartesian plane that satisfy $\begin{aligned} &\Bigl|\bigl||x| - 2\bigr| - 1\Bigr| \\ &\quad {}+ \Bigl|\bigl||y| - 2\bigr| - 1\Bigr| = 1. \end{aligned}$ If a model of $S$ were built from wire of negligible thickness, then the total length of wire required would be $a\sqrt{b},$ where $a$ and $b$ are positive integers and $b$ is not divisible by the square of any prime number. Find $a + b.$

Respuesta

Conceptos:valor absoluto geometría analítica perímetro

Nivel de dificultad: 2920

Solución:

Sea $f(t) = \bigl|\,||t| - 2| - 1\,\bigr|,$ de modo que la ecuación es $f(x) + f(y) = 1.$ La función $f$ es par, y para $t \ge 0:$ en $[0, 2],$ $||t| - 2| - 1 = (2 - t) - 1$ $= 1 - t,$ así que $f(t) = |t - 1|;$ en $[2, 4],$ $f(t) = |t - 3|;$ y para $t \gt 4,$ $f(t) = t - 3 \gt 1,$ que es demasiado grande. Así que en el rango relevante, $f(t) = |t - a|$ donde $a \in \{-3, -1, 1, 3\}$ es el más cercano de esos cuatro valores a $t.$

Por lo tanto $S$ es la unión de las $16$ circunferencias en la métrica del taxista $\begin{aligned} &|x - a| + |y - b| = 1, \\ &\qquad a, b \in \{-3, -1, 1, 3\}, \end{aligned}$ que se encuentran solo en puntos aislados. Cada una es un cuadrado (rombo) con diagonal $2,$ por lo que su lado es $\sqrt{2}$ y su perímetro $4\sqrt{2}.$

La longitud total es $16 \cdot 4\sqrt{2} = 64\sqrt{2},$ así que $a + b = 64 + 2 = 66.$

Let $f(t) = \bigl|\,||t| - 2| - 1\,\bigr|,$ so the equation is $f(x) + f(y) = 1.$ The function $f$ is even, and for $t \ge 0:$ on $[0, 2],$ $||t| - 2| - 1 = (2 - t) - 1$ $= 1 - t,$ so $f(t) = |t - 1|;$ on $[2, 4],$ $f(t) = |t - 3|;$ and for $t \gt 4,$ $f(t) = t - 3 \gt 1,$ which is too large. So on the relevant range, $f(t) = |t - a|$ where $a \in \{-3, -1, 1, 3\}$ is the nearest of those four values to $t.$

Therefore $S$ is the union of the $16$ taxicab circles $\begin{aligned} &|x - a| + |y - b| = 1, \\ &\qquad a, b \in \{-3, -1, 1, 3\}, \end{aligned}$ which meet only at isolated points. Each is a square (diamond) with diagonal $2,$ hence side $\sqrt{2}$ and perimeter $4\sqrt{2}.$

The total length is $16 \cdot 4\sqrt{2} = 64\sqrt{2},$ so $a + b = 64 + 2 = 66.$

14.

Sean $v$ y $w$ raíces distintas, elegidas al azar, de la ecuación $z^{1997} - 1 = 0.$ Sea $\frac{m}{n}$ la probabilidad de que $\sqrt{2 + \sqrt{3}} \le |v + w|,$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m + n.$

Let $v$ and $w$ be distinct, randomly chosen roots of the equation $z^{1997} - 1 = 0.$ Let $\frac{m}{n}$ be the probability that $\sqrt{2 + \sqrt{3}} \le |v + w|,$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Conceptos:raíces de la unidad identidad trigonométrica probabilidad básica

Nivel de dificultad: 2920

Solución:

Por simetría rotacional podemos fijar $v$ y tomar $w = v e^{2\pi i k/1997}$ con $k$ uniforme en $\{1, 2, \ldots, 1996\}.$ Entonces $\begin{aligned} |v + w| &= \left|1 + e^{2\pi i k/1997}\right| \\ &= 2\left|\cos\frac{\pi k}{1997}\right|. \end{aligned}$ Además $\left(2\cos 15^\circ\right)^2 = 2 + 2\cos 30^\circ$ $= 2 + \sqrt{3},$ así que el umbral es $\sqrt{2 + \sqrt{3}} = 2\cos\frac{\pi}{12}.$

La condición $\left|\cos\frac{\pi k}{1997}\right| \ge \cos\frac{\pi}{12}$ se cumple exactamente cuando $\frac{\pi k}{1997}$ está a menos de $\frac{\pi}{12}$ de $0$ o de $\pi,$ es decir $k \le \frac{1997}{12} = 166.41\ldots$ o $k \ge \frac{11 \cdot 1997}{12} = 1830.58\ldots.$ Eso da $166 + 166 = 332$ valores favorables de $k.$

La probabilidad es $\frac{332}{1996} = \frac{83}{499},$ y $499$ es primo, así que $m + n = 83 + 499 = 582.$

By rotational symmetry we may fix $v$ and let $w = v e^{2\pi i k/1997}$ with $k$ uniform in $\{1, 2, \ldots, 1996\}.$ Then $\begin{aligned} |v + w| &= \left|1 + e^{2\pi i k/1997}\right| \\ &= 2\left|\cos\frac{\pi k}{1997}\right|. \end{aligned}$ Also $\left(2\cos 15^\circ\right)^2 = 2 + 2\cos 30^\circ$ $= 2 + \sqrt{3},$ so the threshold is $\sqrt{2 + \sqrt{3}} = 2\cos\frac{\pi}{12}.$

The condition $\left|\cos\frac{\pi k}{1997}\right| \ge \cos\frac{\pi}{12}$ holds exactly when $\frac{\pi k}{1997}$ is within $\frac{\pi}{12}$ of $0$ or of $\pi,$ i.e. $k \le \frac{1997}{12} = 166.41\ldots$ or $k \ge \frac{11 \cdot 1997}{12} = 1830.58\ldots.$ That gives $166 + 166 = 332$ favorable values of $k.$

The probability is $\frac{332}{1996} = \frac{83}{499},$ and $499$ is prime, so $m + n = 83 + 499 = 582.$

15.

Los lados del rectángulo $ABCD$ tienen longitudes $10$ y $11.$ Se dibuja un triángulo equilátero de modo que ningún punto del triángulo quede fuera de $ABCD.$ El área máxima posible de tal triángulo se puede escribir en la forma $p\sqrt{q} - r,$ donde $p,$ $q,$ y $r$ son enteros positivos, y $q$ no es divisible por el cuadrado de ningún número primo. Halla $p + q + r.$

The sides of rectangle $ABCD$ have lengths $10$ and $11.$ An equilateral triangle is drawn so that no point of the triangle lies outside $ABCD.$ The maximum possible area of such a triangle can be written in the form $p\sqrt{q} - r,$ where $p,$ $q,$ and $r$ are positive integers, and $q$ is not divisible by the square of any prime number. Find $p + q + r.$

Respuesta

Conceptos:triángulo equilátero trigonometría optimización

Nivel de dificultad: 3160

Solución:

Coloca el rectángulo con esquinas $(0, 0),$ $(11, 0),$ $(11, 10),$ $(0, 10).$ Un triángulo equilátero maximal se puede agrandar a menos que quede sujeto por el rectángulo, y la posición extrema tiene un vértice en una esquina, digamos el origen, con los otros dos vértices $s(\cos\theta, \sin\theta)$ y $s\bigl(\cos(\theta + 60^\circ), \sin(\theta + 60^\circ)\bigr)$ tocando los lados opuestos $x = 11$ y $y = 10:$ $\begin{aligned} s\cos\theta &= 11, \\ s\sin(\theta + 60^\circ) &= 10. \end{aligned}$

Dividiendo, $11\sin(\theta + 60^\circ) = 10\cos\theta,$ y al desarrollar el lado izquierdo se obtiene $\frac{11}{2}\sin\theta + \frac{11\sqrt{3}}{2}\cos\theta = 10\cos\theta,$ así que $\tan\theta = \frac{20 - 11\sqrt{3}}{11}$ (cerca de $4.9^\circ,$ una inclinación válida). Entonces $\begin{aligned} s^2 &= \frac{121}{\cos^2\theta} \\ &= 121\left(1 + \tan^2\theta\right) \\ &= 121 + \left(20 - 11\sqrt{3}\right)^2 \\ &= 884 - 440\sqrt{3}. \end{aligned}$

El área es $\frac{\sqrt{3}}{4}s^2 = \frac{\sqrt{3}}{4}\left(884 - 440\sqrt{3}\right)$ $= 221\sqrt{3} - 330 \approx 52.8,$ lo que en efecto supera al triángulo no inclinado de lado $10.$ Por lo tanto $p + q + r$ $= 221 + 3 + 330 = 554.$

Place the rectangle with corners $(0, 0),$ $(11, 0),$ $(11, 10),$ $(0, 10).$ A maximal equilateral triangle can be enlarged unless it is pinned by the rectangle, and the extremal position has one vertex at a corner, say the origin, with the other two vertices $s(\cos\theta, \sin\theta)$ and $s\bigl(\cos(\theta + 60^\circ), \sin(\theta + 60^\circ)\bigr)$ touching the far sides $x = 11$ and $y = 10:$ $\begin{aligned} s\cos\theta &= 11, \\ s\sin(\theta + 60^\circ) &= 10. \end{aligned}$

Dividing, $11\sin(\theta + 60^\circ) = 10\cos\theta,$ and expanding the left side gives $\frac{11}{2}\sin\theta + \frac{11\sqrt{3}}{2}\cos\theta = 10\cos\theta,$ so $\tan\theta = \frac{20 - 11\sqrt{3}}{11}$ (about $4.9^\circ,$ a legal tilt). Then $\begin{aligned} s^2 &= \frac{121}{\cos^2\theta} \\ &= 121\left(1 + \tan^2\theta\right) \\ &= 121 + \left(20 - 11\sqrt{3}\right)^2 \\ &= 884 - 440\sqrt{3}. \end{aligned}$

The area is $\frac{\sqrt{3}}{4}s^2 = \frac{\sqrt{3}}{4}\left(884 - 440\sqrt{3}\right)$ $= 221\sqrt{3} - 330 \approx 52.8,$ which indeed beats the untilted triangle of side $10.$ Thus $p + q + r$ $= 221 + 3 + 330 = 554.$