Question

La sucesión $(a_n)$ satisface $a_1 = 1$ y $5^{(a_{n+1} - a_n)} - 1 = \frac{1}{n + \frac{2}{3}}$ para $n \ge 1.$ Sea $k$ el menor entero mayor que $1$ para el cual $a_k$ es un entero. Halla $k.$

The sequence $(a_n)$ satisfies $a_1 = 1$ and $5^{(a_{n+1} - a_n)} - 1 = \frac{1}{n + \frac{2}{3}}$ for $n \ge 1.$ Let $k$ be the least integer greater than $1$ for which $a_k$ is an integer. Find $k.$

Respuesta

Respuesta: 41

Conceptos:telescópica logaritmo aritmética modular

Nivel de dificultad: 2450

Pista pequeña:

Reescribe la relación como $5^{a_{n+1} - a_n} = \frac{3n+5}{3n+2}$ y multiplica las igualdades sucesivas para que se cancelen los factores intermedios.

Rewrite the relation as $5^{a_{n+1} - a_n} = \frac{3n+5}{3n+2}$ and multiply successive instances to telescope

Pista grande:

La forma cerrada es $a_k = \log_5(3k+2),$ así que necesitas que $3k + 2$ sea una potencia de $5.$

The closed form is $a_k = \log_5(3k+2),$ so you need $3k + 2$ to be a power of $5$

Solución:

La relación dice $5^{a_{n+1} - a_n} = 1 + \frac{3}{3n + 2} = \frac{3n+5}{3n+2}.$ Al multiplicar estas ecuaciones para $n = 1,$ $2,$ $\ldots,$ $k - 1,$ se cancelan los factores intermedios: $5^{a_k - a_1} = \frac{3k + 2}{5},$ de modo que $\begin{aligned} a_k &= 1 + \log_5 \frac{3k+2}{5} \\ &= \log_5 (3k + 2). \end{aligned}$

Así $a_k$ es un entero exactamente cuando $3k + 2$ es una potencia de $5.$ Como $5^j \equiv 2^j \pmod 3,$ solo los exponentes impares $j$ dan números de la forma $3k + 2.$ La potencia $5^1 = 5$ da $k = 1,$ que queda excluido, y la siguiente, $5^3 = 125 = 3 \cdot 41 + 2,$ da $k = 41.$

The relation says $5^{a_{n+1} - a_n} = 1 + \frac{3}{3n + 2} = \frac{3n+5}{3n+2}.$ Multiplying these equations for $n = 1,$ $2,$ $\ldots,$ $k - 1$ telescopes: $5^{a_k - a_1} = \frac{3k + 2}{5},$ so $\begin{aligned} a_k &= 1 + \log_5 \frac{3k+2}{5} \\ &= \log_5 (3k + 2). \end{aligned}$

Thus $a_k$ is an integer exactly when $3k + 2$ is a power of $5.$ Since $5^j \equiv 2^j \pmod 3,$ only odd exponents $j$ give numbers of the form $3k + 2.$ The power $5^1 = 5$ gives $k = 1,$ which is excluded, and the next, $5^3 = 125 = 3 \cdot 41 + 2,$ gives $k = 41.$

2009 AIME I Problema 7

Respuesta: 41

Nivel de dificultad: 2450

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 7 en otros años