Question

Ocho esferas de radio $100$ se colocan sobre una superficie plana de modo que cada esfera es tangente a otras dos y sus centros son los vértices de un octágono regular. Una novena esfera se coloca sobre la superficie plana de modo que es tangente a cada una de las otras ocho esferas. El radio de esta última esfera es $a + b\sqrt{c}$ , donde $a$ , $b$ y $c$ son enteros positivos, y $c$ no es divisible por el cuadrado de ningún primo. Halla $a + b + c$ .

Eight spheres of radius $100$ are placed on a flat surface so that each sphere is tangent to two others and their centers are the vertices of a regular octagon. A ninth sphere is placed on the flat surface so that it is tangent to each of the other eight spheres. The radius of this last sphere is $a + b\sqrt{c},$ where $a,$ $b,$ and $c$ are positive integers, and $c$ is not divisible by the square of any prime. Find $a + b + c.$

Respuesta

Solución:

Los ocho centros están a altura $100$ , en los vértices de un octágono regular de lado $200$ (las esferas adyacentes son tangentes). Si la novena esfera tiene radio $r$ , descansa sobre la superficie con su centro a altura $r$ directamente sobre el centro del octágono, y la tangencia con cada esfera da $\sqrt{R^2 + (r - 100)^2} = r + 100$ , donde $R$ es el circunradio del octágono. Por lo tanto $\begin{aligned} R^2 &= (r + 100)^2 - (r - 100)^2 \\ &= 400r. \end{aligned}$

Un lado de un octágono regular subtiende $45^\circ$ en el centro, así que $200 = 2R \sin 22.5^\circ$ y, usando $\sin^2 22.5^\circ = \frac{1 - \cos 45^\circ}{2} = \frac{2 - \sqrt{2}}{4}$ , $\begin{aligned} R^2 &= \frac{10000}{\sin^2 22.5^\circ} \\ &= \frac{40000}{2 - \sqrt{2}} \\ &= 20000\,(2 + \sqrt{2}). \end{aligned}$

Entonces $r = \frac{R^2}{400}$ $= 50\,(2 + \sqrt{2})$ $= 100 + 50\sqrt{2}$ , así que $a + b + c = 100 + 50 + 2 = 152$ .

The eight centers are at height $100,$ at the vertices of a regular octagon of side $200$ (adjacent spheres are tangent). If the ninth sphere has radius $r,$ it rests on the surface with its center at height $r$ directly above the octagon's center, and tangency to each sphere gives $\sqrt{R^2 + (r - 100)^2} = r + 100,$ where $R$ is the octagon's circumradius. Hence $\begin{aligned} R^2 &= (r + 100)^2 - (r - 100)^2 \\ &= 400r. \end{aligned}$

A side of a regular octagon subtends $45^\circ$ at the center, so $200 = 2R \sin 22.5^\circ$ and, using $\sin^2 22.5^\circ = \frac{1 - \cos 45^\circ}{2} = \frac{2 - \sqrt{2}}{4},$ $\begin{aligned} R^2 &= \frac{10000}{\sin^2 22.5^\circ} \\ &= \frac{40000}{2 - \sqrt{2}} \\ &= 20000\,(2 + \sqrt{2}). \end{aligned}$

Then $r = \frac{R^2}{400}$ $= 50\,(2 + \sqrt{2})$ $= 100 + 50\sqrt{2},$ so $a + b + c = 100 + 50 + 2 = 152.$

1998 AIME Problema 10

Solución:

El Problema 10 en otros años