Question

En el diagrama de abajo, el ángulo $ABC$ es un ángulo recto. El punto $D$ está en $\overline{BC},$ y $\overline{AD}$ biseca el ángulo $CAB.$ Los puntos $E$ y $F$ están en $\overline{AB}$ y $\overline{AC},$ respectivamente, de modo que $AE = 3$ y $AF = 10.$ Dado que $EB = 9$ y $FC = 27,$ halle el entero más cercano al área del cuadrilátero $DCFG.$

In the diagram below, angle $ABC$ is a right angle. Point $D$ is on $\overline{BC},$ and $\overline{AD}$ bisects angle $CAB.$ Points $E$ and $F$ are on $\overline{AB}$ and $\overline{AC},$ respectively, so that $AE = 3$ and $AF = 10.$ Given that $EB = 9$ and $FC = 27,$ find the integer closest to the area of quadrilateral $DCFG.$

Respuesta

Solución:

Aquí $AB = 3 + 9 = 12,$ $AC = 10 + 27 = 37,$ y el ángulo $B$ es recto, así que $BC = \sqrt{37^2 - 12^2} = 35$ y $[ABC] = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 35 = 210.$ El cuadrilátero es el triángulo $ADC$ con el triángulo $AGF$ quitado, donde $G$ es la intersección de $\overline{AD}$ y $\overline{EF}.$

Por el teorema de la bisectriz en el triángulo $ABC,$ $BD : DC = AB : AC = 12 : 37,$ así que $[ADC] = \frac{37}{49} \cdot 210 = \frac{1110}{7}.$ En el triángulo $AEF,$ el rayo $AG$ biseca el mismo ángulo, así que $EG : GF = AE : AF = 3 : 10$ y $[AGF] = \frac{10}{13}\,[AEF].$ Además $[AEF] = \frac{AE}{AB} \cdot \frac{AF}{AC}\,[ABC]$ $= \frac{3}{12} \cdot \frac{10}{37} \cdot 210$ $= \frac{525}{37}.$

Por lo tanto $\begin{aligned} [DCFG] &= \frac{1110}{7} - \frac{10}{13} \cdot \frac{525}{37} \\ &= \frac{1110}{7} - \frac{5250}{481} \\ &\approx 158.57 - 10.92 \\ &= 147.66, \end{aligned}$ y el entero más cercano es $148.$

Here $AB = 3 + 9 = 12,$ $AC = 10 + 27 = 37,$ and angle $B$ is right, so $BC = \sqrt{37^2 - 12^2} = 35$ and $[ABC] = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 35 = 210.$ The quadrilateral is triangle $ADC$ with triangle $AGF$ removed, where $G$ is the intersection of $\overline{AD}$ and $\overline{EF}.$

By the angle bisector theorem in triangle $ABC,$ $BD : DC = AB : AC = 12 : 37,$ so $[ADC] = \frac{37}{49} \cdot 210 = \frac{1110}{7}.$ In triangle $AEF,$ ray $AG$ bisects the same angle, so $EG : GF = AE : AF = 3 : 10$ and $[AGF] = \frac{10}{13}\,[AEF].$ Also $[AEF] = \frac{AE}{AB} \cdot \frac{AF}{AC}\,[ABC]$ $= \frac{3}{12} \cdot \frac{10}{37} \cdot 210$ $= \frac{525}{37}.$

Therefore $\begin{aligned} [DCFG] &= \frac{1110}{7} - \frac{10}{13} \cdot \frac{525}{37} \\ &= \frac{1110}{7} - \frac{5250}{481} \\ &\approx 158.57 - 10.92 \\ &= 147.66, \end{aligned}$ and the closest integer is $148.$

2002 AIME I Problema 10

Solución:

El Problema 10 en otros años