Question

Halle la suma de todos los enteros positivos $n$ tales que cuando $1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + n^3$ se divide entre $n + 5,$ el residuo es $17.$

Find the sum of all positive integers $n$ such that when $1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + n^3$ is divided by $n + 5,$ the remainder is $17.$

Respuesta

Solución:

Sea $K = \frac{n(n+1)}{2},$ de modo que la suma de cubos es $K^2.$ Módulo $n + 5$ tenemos $n \equiv -5,$ por lo que $2K = n(n+1)$ $\equiv (-5)(-4) = 20$ y $4K^2 \equiv 400.$ Si $K^2 \equiv 17 \pmod{n+5},$ entonces $n + 5$ divide a $400 - 4 \cdot 17 = 332 = 2^2 \cdot 83.$ Como un residuo de $17$ también obliga a $n + 5 \gt 17,$ los candidatos son $n + 5 \in \{83, 166, 332\},$ es decir $n \in \{78, 161, 327\}.$

Como multiplicamos por $4,$ cada candidato debe comprobarse. Para $n = 78:$ $K = 3081 \equiv 10 \pmod{83},$ y $10^2 = 100 \equiv 17 \pmod{83}.$ Para $n = 161:$ $K = 13041 \equiv 93 \pmod{166},$ y $93^2 = 8649 = 52 \cdot 166 + 17.$ Para $n = 327:$ $K = 53628 \equiv 176 \pmod{332},$ y $176^2 = 30976 = 93 \cdot 332 + 100,$ con residuo $100 \ne 17,$ así que este falla.

Los valores válidos son $n = 78$ y $n = 161,$ con suma $78 + 161 = 239.$

Let $K = \frac{n(n+1)}{2},$ so the sum of cubes is $K^2.$ Modulo $n + 5$ we have $n \equiv -5,$ hence $2K = n(n+1)$ $\equiv (-5)(-4) = 20$ and $4K^2 \equiv 400.$ If $K^2 \equiv 17 \pmod{n+5},$ then $n + 5$ divides $400 - 4 \cdot 17 = 332 = 2^2 \cdot 83.$ Since a remainder of $17$ also forces $n + 5 \gt 17,$ the candidates are $n + 5 \in \{83, 166, 332\},$ i.e. $n \in \{78, 161, 327\}.$

Because we multiplied by $4,$ each candidate must be checked. For $n = 78:$ $K = 3081 \equiv 10 \pmod{83},$ and $10^2 = 100 \equiv 17 \pmod{83}.$ For $n = 161:$ $K = 13041 \equiv 93 \pmod{166},$ and $93^2 = 8649 = 52 \cdot 166 + 17.$ For $n = 327:$ $K = 53628 \equiv 176 \pmod{332},$ and $176^2 = 30976 = 93 \cdot 332 + 100,$ remainder $100 \ne 17,$ so this one fails.

The valid values are $n = 78$ and $n = 161,$ with sum $78 + 161 = 239.$

2020 AIME II Problema 10

Solución:

El Problema 10 en otros años