Soluciones del 2020 AIME II | LIVE by Po-Shen Loh

1.

Halle el número de pares ordenados de enteros positivos $(m, n)$ tales que $m^2 n = 20^{20}.$

Find the number of ordered pairs of positive integers $(m, n)$ such that $m^2 n = 20^{20}.$

Respuesta

Conceptos:factorización en primos conteo básico

Nivel de dificultad: 1890

Solución:

Como $20^{20} = 2^{40} \cdot 5^{20},$ un $m$ válido debe tener la forma $2^a 5^b,$ y entonces $n = 2^{40 - 2a}\,5^{20 - 2b}$ es un entero positivo exactamente cuando $2a \le 40$ y $2b \le 20.$ Recíprocamente, cada una de estas elecciones funciona, y $n$ queda determinado de manera única por $m.$

Por lo tanto, $a$ puede ser cualquiera de $0, 1, \ldots, 20$ y $b$ cualquiera de $0, 1, \ldots, 10,$ lo que da $21 \cdot 11 = 231$ pares ordenados.

Since $20^{20} = 2^{40} \cdot 5^{20},$ a valid $m$ must have the form $2^a 5^b,$ and then $n = 2^{40 - 2a}\,5^{20 - 2b}$ is a positive integer exactly when $2a \le 40$ and $2b \le 20.$ Conversely every such choice works, and $n$ is uniquely determined by $m.$

So $a$ can be any of $0, 1, \ldots, 20$ and $b$ any of $0, 1, \ldots, 10,$ giving $21 \cdot 11 = 231$ ordered pairs.

2.

Sea $P$ un punto elegido de manera uniforme al azar en el interior del cuadrado unitario con vértices en $(0, 0),$ $(1, 0),$ $(1, 1),$ y $(0, 1).$ La probabilidad de que la pendiente de la recta determinada por $P$ y el punto $\left(\frac{5}{8}, \frac{3}{8}\right)$ sea mayor o igual que $\frac{1}{2}$ se puede escribir como $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halle $m + n.$

Let $P$ be a point chosen uniformly at random in the interior of the unit square with vertices at $(0, 0),$ $(1, 0),$ $(1, 1),$ and $(0, 1).$ The probability that the slope of the line determined by $P$ and the point $\left(\frac{5}{8}, \frac{3}{8}\right)$ is greater than or equal to $\frac{1}{2}$ can be written as $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Conceptos:probabilidad geométrica pendiente trapecio

Nivel de dificultad: 2110

Solución:

Sea $Q = \left(\frac{5}{8}, \frac{3}{8}\right)$ y $P = (x, y).$ La condición de pendiente $\frac{y - 3/8}{x - 5/8} \ge \frac{1}{2}$ se convierte en $y \ge \frac{x}{2} + \frac{1}{16}$ cuando $x \gt \frac{5}{8},$ y en $y \le \frac{x}{2} + \frac{1}{16}$ cuando $x \lt \frac{5}{8}$ (multiplicar por la cantidad negativa $x - \frac{5}{8}$ invierte la desigualdad).

Para $x \gt \frac{5}{8},$ la región por encima de la recta $y = \frac{x}{2} + \frac{1}{16}$ dentro del cuadrado es un trapecio con lados verticales paralelos de longitudes $\frac{5}{8}$ (en $x = \frac{5}{8}$ ) y $\frac{7}{16}$ (en $x = 1$ ) y ancho $\frac{3}{8},$ con área $\frac{3}{8} \cdot \frac{5/8 + 7/16}{2} = \frac{51}{256}.$ Para $x \lt \frac{5}{8},$ la región por debajo de la recta es un trapecio con lados paralelos $\frac{1}{16}$ (en $x = 0$ ) y $\frac{3}{8}$ (en $x = \frac{5}{8}$ ) y ancho $\frac{5}{8},$ con área $\frac{5}{8} \cdot \frac{1/16 + 3/8}{2} = \frac{35}{256}.$

La probabilidad es $\frac{51}{256} + \frac{35}{256} = \frac{86}{256} = \frac{43}{128},$ por lo que $m + n = 43 + 128 = 171.$

Let $Q = \left(\frac{5}{8}, \frac{3}{8}\right)$ and $P = (x, y).$ The slope condition $\frac{y - 3/8}{x - 5/8} \ge \frac{1}{2}$ becomes $y \ge \frac{x}{2} + \frac{1}{16}$ when $x \gt \frac{5}{8},$ and $y \le \frac{x}{2} + \frac{1}{16}$ when $x \lt \frac{5}{8}$ (multiplying by the negative quantity $x - \frac{5}{8}$ reverses the inequality).

For $x \gt \frac{5}{8},$ the region above the line $y = \frac{x}{2} + \frac{1}{16}$ inside the square is a trapezoid with parallel vertical sides of lengths $\frac{5}{8}$ (at $x = \frac{5}{8}$ ) and $\frac{7}{16}$ (at $x = 1$ ) and width $\frac{3}{8},$ with area $\frac{3}{8} \cdot \frac{5/8 + 7/16}{2} = \frac{51}{256}.$ For $x \lt \frac{5}{8},$ the region below the line is a trapezoid with parallel sides $\frac{1}{16}$ (at $x = 0$ ) and $\frac{3}{8}$ (at $x = \frac{5}{8}$ ) and width $\frac{5}{8},$ with area $\frac{5}{8} \cdot \frac{1/16 + 3/8}{2} = \frac{35}{256}.$

The probability is $\frac{51}{256} + \frac{35}{256} = \frac{86}{256} = \frac{43}{128},$ so $m + n = 43 + 128 = 171.$

3.

El valor de $x$ que satisface $\log_{2^x} 3^{20} = \log_{2^{x+3}} 3^{2020}$ se puede escribir como $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halle $m + n.$

The value of $x$ that satisfies $\log_{2^x} 3^{20} = \log_{2^{x+3}} 3^{2020}$ can be written as $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Conceptos:logaritmo ecuación racional

Nivel de dificultad: 1950

Solución:

Por la fórmula del cambio de base, $\log_{2^x} 3^{20} = \frac{20 \log 3}{x \log 2}$ y $\log_{2^{x+3}} 3^{2020} = \frac{2020 \log 3}{(x + 3) \log 2}.$ Al cancelar el factor común $\frac{\log 3}{\log 2}$ queda $\frac{20}{x} = \frac{2020}{x + 3}.$

Multiplicando en cruz se obtiene $20x + 60 = 2020x,$ de modo que $2000x = 60$ y $x = \frac{3}{100}.$ Así, $m + n = 3 + 100 = 103.$

By the change-of-base formula, $\log_{2^x} 3^{20} = \frac{20 \log 3}{x \log 2}$ and $\log_{2^{x+3}} 3^{2020} = \frac{2020 \log 3}{(x + 3) \log 2}.$ Cancelling the common factor $\frac{\log 3}{\log 2}$ leaves $\frac{20}{x} = \frac{2020}{x + 3}.$

Cross-multiplying gives $20x + 60 = 2020x,$ so $2000x = 60$ and $x = \frac{3}{100}.$ Thus $m + n = 3 + 100 = 103.$

4.

Los triángulos $\triangle ABC$ y $\triangle A'B'C'$ están en el plano de coordenadas con vértices $A(0, 0),$ $B(0, 12),$ $C(16, 0),$ $A'(24, 18),$ $B'(36, 18),$ $C'(24, 2).$ Una rotación de $m$ grados en sentido horario alrededor del punto $(x, y),$ donde $0 \lt m \lt 180,$ transformará $\triangle ABC$ en $\triangle A'B'C'.$ Halle $m + x + y.$

Triangles $\triangle ABC$ and $\triangle A'B'C'$ lie in the coordinate plane with vertices $A(0, 0),$ $B(0, 12),$ $C(16, 0),$ $A'(24, 18),$ $B'(36, 18),$ $C'(24, 2).$ A rotation of $m$ degrees clockwise around the point $(x, y),$ where $0 \lt m \lt 180,$ will transform $\triangle ABC$ to $\triangle A'B'C'.$ Find $m + x + y.$

Respuesta

Conceptos:transformación geometría analítica

Nivel de dificultad: 2300

Solución:

El vector $\overrightarrow{AB} = (0, 12)$ es vertical, mientras que $\overrightarrow{A'B'} = (12, 0)$ es horizontal y de la misma longitud, así que la rotación gira las direcciones $90^\circ$ en sentido horario, y $m = 90.$

Una rotación de $90^\circ$ en sentido horario alrededor de $(a, b)$ envía $(p, q)$ a $(a + q - b,\ b - p + a).$ Aplicándola a $A = (0, 0)$ e igualando la imagen a $A' = (24, 18)$ se obtiene $a - b = 24$ y $a + b = 18,$ de donde $a = 21$ y $b = -3.$ Comprobando los otros vértices: $B = (0, 12)$ se envía a $(21 + 12 + 3,\ -3 + 21)$ $= (36, 18) = B',$ y $C = (16, 0)$ se envía a $(21 + 3,\ -3 - 16 + 21)$ $= (24, 2) = C'.$

Por lo tanto, $m + x + y = 90$ $+ 21$ $+ (-3) = 108.$

The vector $\overrightarrow{AB} = (0, 12)$ is vertical, while $\overrightarrow{A'B'} = (12, 0)$ is horizontal and of the same length, so the rotation turns directions by $90^\circ$ clockwise, and $m = 90.$

A $90^\circ$ clockwise rotation about $(a, b)$ sends $(p, q)$ to $(a + q - b,\ b - p + a).$ Applying this to $A = (0, 0)$ and setting the image equal to $A' = (24, 18)$ gives $a - b = 24$ and $a + b = 18,$ so $a = 21$ and $b = -3.$ Checking the other vertices: $B = (0, 12)$ maps to $(21 + 12 + 3,\ -3 + 21)$ $= (36, 18) = B',$ and $C = (16, 0)$ maps to $(21 + 3,\ -3 - 16 + 21)$ $= (24, 2) = C'.$

Therefore $m + x + y = 90$ $+ 21$ $+ (-3) = 108.$

5.

Para cada entero positivo $n,$ sea $f(n)$ la suma de los dígitos en la representación en base cuatro de $n$ y sea $g(n)$ la suma de los dígitos en la representación en base ocho de $f(n).$ Por ejemplo, $f(2020) = f(133210_4) = 10$ $= 12_8,$ y la suma de los dígitos de $12_8$ es $3,$ así que $g(2020) = 3.$ Sea $N$ el menor valor de $n$ tal que la representación en base dieciséis de $g(n)$ no se puede expresar usando solo los dígitos del $0$ al $9.$ Halle el residuo cuando $N$ se divide entre $1000.$

For each positive integer $n,$ let $f(n)$ be the sum of the digits in the base-four representation of $n$ and let $g(n)$ be the sum of the digits in the base-eight representation of $f(n).$ For example, $f(2020) = f(133210_4) = 10$ $= 12_8,$ and the digit sum of $12_8$ is $3,$ so $g(2020) = 3.$ Let $N$ be the least value of $n$ such that the base-sixteen representation of $g(n)$ cannot be expressed using only the digits $0$ through $9.$ Find the remainder when $N$ is divided by $1000.$

Respuesta

Conceptos:base numérica dígitos trabajar hacia atrás

Nivel de dificultad: 2450

Solución:

La representación en base dieciséis de $g(n)$ necesita un dígito mayor que $9$ exactamente cuando $g(n) \ge 10.$ Así que necesitamos que la suma de dígitos en base ocho de $f(n)$ sea al menos $10.$ Revisando los valores en orden, todo número menor que $31$ tiene suma de dígitos en base ocho a lo sumo $9,$ mientras que $31 = 37_8$ tiene suma de dígitos $10.$ Como el menor $n$ que alcanza una suma de dígitos en base cuatro dada crece con esa suma, buscamos el menor $n$ con $f(n) = 31.$

Un dígito en base cuatro es a lo sumo $3,$ así que una suma de dígitos de $31$ requiere al menos $11$ dígitos, y la menor elección de $11$ dígitos es un $1$ inicial seguido de diez $3$ s: $\begin{aligned} N &= 13333333333_4 \\ &= 4^{10} + (4^{10} - 1) \\ &= 2 \cdot 4^{10} - 1 = 2097151. \end{aligned}$

El residuo cuando $N = 2097151$ se divide entre $1000$ es $151.$

The base-sixteen representation of $g(n)$ needs a digit beyond $9$ exactly when $g(n) \ge 10.$ So we need the base-eight digit sum of $f(n)$ to be at least $10.$ Checking values in order, every number less than $31$ has base-eight digit sum at most $9,$ while $31 = 37_8$ has digit sum $10.$ Since the least $n$ achieving a given base-four digit sum increases with that sum, we want the least $n$ with $f(n) = 31.$

A base-four digit is at most $3,$ so a digit sum of $31$ requires at least $11$ digits, and the smallest $11$ -digit choice is a leading $1$ followed by ten $3$ s: $\begin{aligned} N &= 13333333333_4 \\ &= 4^{10} + (4^{10} - 1) \\ &= 2 \cdot 4^{10} - 1 = 2097151. \end{aligned}$

The remainder when $N = 2097151$ is divided by $1000$ is $151.$

6.

Defina una sucesión recursivamente por $t_1 = 20,$ $t_2 = 21,$ y $t_n = \frac{5t_{n-1} + 1}{25t_{n-2}}$ para todo $n \ge 3.$ Entonces $t_{2020}$ se puede escribir como $\frac{p}{q},$ donde $p$ y $q$ son enteros positivos primos entre sí. Halle $p + q.$

Define a sequence recursively by $t_1 = 20,$ $t_2 = 21,$ and $t_n = \frac{5t_{n-1} + 1}{25t_{n-2}}$ for all $n \ge 3.$ Then $t_{2020}$ can be written as $\frac{p}{q},$ where $p$ and $q$ are relatively prime positive integers. Find $p + q.$

Respuesta

Conceptos:recursión reconocimiento de patrones

Nivel de dificultad: 2340

Solución:

Calculando los términos exactamente: $\begin{aligned} t_3 &= \frac{5 \cdot 21 + 1}{25 \cdot 20} = \frac{53}{250}, \\ t_4 &= \frac{5 \cdot \frac{53}{250} + 1}{25 \cdot 21} = \frac{103}{26250}, \\ t_5 &= \frac{5 \cdot \frac{103}{26250} + 1}{25 \cdot \frac{53}{250}} \\ &= \frac{5353}{5250} \cdot \frac{10}{53} = \frac{101}{525}, \end{aligned}$ usando $5353 = 53 \cdot 101.$ Luego $t_6 = \frac{5 \cdot \frac{101}{525} + 1}{25 \cdot \frac{103}{26250}}$ $= \frac{206}{105} \cdot \frac{1050}{103}$ $= 20 = t_1$ y $t_7 = \frac{101}{101/21} = 21 = t_2.$

Como cada término depende solo de los dos términos anteriores, la sucesión se repite con período $5.$ Como $2020$ es múltiplo de $5,$ obtenemos $t_{2020} = t_5 = \frac{101}{525}.$ Puesto que $101$ es primo y no divide a $525,$ la fracción está reducida, y $p + q = 101 + 525 = 626.$

Computing terms exactly: $\begin{aligned} t_3 &= \frac{5 \cdot 21 + 1}{25 \cdot 20} = \frac{53}{250}, \\ t_4 &= \frac{5 \cdot \frac{53}{250} + 1}{25 \cdot 21} = \frac{103}{26250}, \\ t_5 &= \frac{5 \cdot \frac{103}{26250} + 1}{25 \cdot \frac{53}{250}} \\ &= \frac{5353}{5250} \cdot \frac{10}{53} = \frac{101}{525}, \end{aligned}$ using $5353 = 53 \cdot 101.$ Then $t_6 = \frac{5 \cdot \frac{101}{525} + 1}{25 \cdot \frac{103}{26250}}$ $= \frac{206}{105} \cdot \frac{1050}{103}$ $= 20 = t_1$ and $t_7 = \frac{101}{101/21} = 21 = t_2.$

Since each term depends only on the two preceding terms, the sequence repeats with period $5.$ Because $2020$ is a multiple of $5,$ we get $t_{2020} = t_5 = \frac{101}{525}.$ As $101$ is prime and does not divide $525,$ the fraction is reduced, and $p + q = 101 + 525 = 626.$

7.

Dos conos circulares rectos congruentes, cada uno con radio de base $3$ y altura $8,$ tienen ejes de simetría que se cortan en ángulo recto en un punto del interior de los conos a una distancia $3$ de la base de cada cono. Una esfera de radio $r$ está contenida en ambos conos. El máximo valor posible de $r^2$ es $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halle $m + n.$

Two congruent right circular cones each with base radius $3$ and height $8$ have axes of symmetry that intersect at right angles at a point in the interior of the cones a distance $3$ from the base of each cone. A sphere with radius $r$ lies within both cones. The maximum possible value of $r^2$ is $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Conceptos:cono esfera optimización

Nivel de dificultad: 2560

Solución:

Coloque el origen en el punto donde se cruzan los ejes, y mida coordenadas con signo $u_1, u_2$ a lo largo de los dos ejes. A lo largo de su eje, cada cono tiene su vértice a una distancia $8 - 3 = 5$ del origen y su plano de base a una distancia $3$ del otro lado. Al cortar un cono por cualquier plano que pase por su eje se obtiene un triángulo cuyo lado oblicuo, en coordenadas $(u, w)$ con $w \ge 0$ la distancia al eje, es la recta que pasa por $(5, 0)$ y $(-3, 3),$ es decir $3u + 8w = 15.$

Una esfera de radio $r$ centrada en un punto con coordenada axial $u$ y distancia $\rho$ al eje cabe dentro de ese cono solo si su sección transversal cabe dentro del triángulo, así que $r \le \frac{15 - 3u - 8\rho}{\sqrt{73}}.$ Como los dos ejes son perpendiculares, la distancia del centro al eje $1$ es al menos $|u_2|,$ y viceversa. Sumando las dos restricciones, $\begin{aligned} 2\sqrt{73}\,r &\le 30 - 3(u_1 + u_2) \\ &\quad {}- 8(|u_1| + |u_2|) \\ &\le 30, \end{aligned}$ porque $3(u_1 + u_2) \ge -3(|u_1| + |u_2|)$ $\ge -8(|u_1| + |u_2|).$ Por lo tanto, $r \le \frac{15}{\sqrt{73}}.$

La esfera de radio $\frac{15}{\sqrt{73}}$ centrada en el origen alcanza este valor: su distancia a cada superficie oblicua es $\frac{|3 \cdot 0 + 8 \cdot 0 - 15|}{\sqrt{3^2 + 8^2}} = \frac{15}{\sqrt{73}},$ y su distancia $3$ a cada plano de base es mayor. Así, el máximo de $r^2$ es $\frac{225}{73},$ y $m + n = 225 + 73 = 298.$

Put the origin at the point where the axes cross, and measure signed coordinates $u_1, u_2$ along the two axes. Along its axis, each cone has its apex at distance $8 - 3 = 5$ from the origin and its base plane at distance $3$ on the other side. Slicing a cone by any plane through its axis gives a triangle whose slant side, in coordinates $(u, w)$ with $w \ge 0$ the distance from the axis, is the line through $(5, 0)$ and $(-3, 3),$ namely $3u + 8w = 15.$

A sphere of radius $r$ centered at a point with axial coordinate $u$ and distance $\rho$ from the axis fits inside that cone only if its cross-section fits inside the triangle, so $r \le \frac{15 - 3u - 8\rho}{\sqrt{73}}.$ Since the two axes are perpendicular, the distance from the center to axis $1$ is at least $|u_2|,$ and vice versa. Adding the two constraints, $\begin{aligned} 2\sqrt{73}\,r &\le 30 - 3(u_1 + u_2) \\ &\quad {}- 8(|u_1| + |u_2|) \\ &\le 30, \end{aligned}$ because $3(u_1 + u_2) \ge -3(|u_1| + |u_2|)$ $\ge -8(|u_1| + |u_2|).$ Hence $r \le \frac{15}{\sqrt{73}}.$

The sphere of radius $\frac{15}{\sqrt{73}}$ centered at the origin achieves this: its distance to each slant surface is $\frac{|3 \cdot 0 + 8 \cdot 0 - 15|}{\sqrt{3^2 + 8^2}} = \frac{15}{\sqrt{73}},$ and its distance $3$ to each base plane is larger. So the maximum of $r^2$ is $\frac{225}{73},$ and $m + n = 225 + 73 = 298.$

8.

Defina una sucesión recursivamente por $f_1(x) = |x - 1|$ y $f_n(x) = f_{n-1}(|x - n|)$ para enteros $n \gt 1.$ Halle el menor valor de $n$ tal que la suma de los ceros de $f_n$ supere $500{,}000.$

Define a sequence recursively by $f_1(x) = |x - 1|$ and $f_n(x) = f_{n-1}(|x - n|)$ for integers $n \gt 1.$ Find the least value of $n$ such that the sum of the zeros of $f_n$ exceeds $500{,}000.$

Respuesta

Conceptos:valor absoluto recursión número triangular inducción

Nivel de dificultad: 2920

Solución:

Como $f_n(x) = f_{n-1}(|x - n|),$ los ceros de $f_n$ son exactamente $x = n \pm z$ cuando $z$ recorre los ceros no negativos de $f_{n-1}.$ Los primeros conjuntos de ceros son $\{1\},$ $\{1, 3\},$ $\{0, 2, 4, 6\},$ $\{-2, 0, 2, \ldots, 10\}.$ Escribiendo $T_k = \frac{k(k+1)}{2},$ afirmamos que los ceros de $f_n$ son uno de cada dos enteros desde $n - T_{n-1}$ hasta $T_n.$ En efecto, por inducción los ceros no negativos de $f_{n-1}$ son uno de cada dos enteros desde $0$ o $1$ hasta $T_{n-1},$ y aplicando $n \pm z$ se obtiene todo entero de la paridad adecuada desde $n - T_{n-1}$ hasta $n + T_{n-1} = T_n.$

Esta progresión tiene $\frac{T_n + T_{n-1} - n}{2} + 1 = \frac{n(n-1)}{2} + 1$ términos, y sus términos primero y último suman $(n - T_{n-1}) + T_n = 2n,$ por lo que la suma de los ceros es $S_n = n\left(\frac{n(n-1)}{2} + 1\right),$ que es creciente en $n.$

Ahora $S_{100} = 100 \cdot 4951$ $= 495{,}100 \le 500{,}000,$ mientras que $S_{101} = 101 \cdot 5051$ $= 510{,}151 \gt 500{,}000.$ El menor $n$ con esa propiedad es $101.$

Since $f_n(x) = f_{n-1}(|x - n|),$ the zeros of $f_n$ are exactly $x = n \pm z$ as $z$ runs over the nonnegative zeros of $f_{n-1}.$ The first few zero sets are $\{1\},$ $\{1, 3\},$ $\{0, 2, 4, 6\},$ $\{-2, 0, 2, \ldots, 10\}.$ Writing $T_k = \frac{k(k+1)}{2},$ we claim the zeros of $f_n$ are every other integer from $n - T_{n-1}$ through $T_n.$ Indeed, by induction the nonnegative zeros of $f_{n-1}$ are every other integer from $0$ or $1$ up to $T_{n-1},$ and applying $n \pm z$ yields every integer of the appropriate parity from $n - T_{n-1}$ through $n + T_{n-1} = T_n.$

This progression has $\frac{T_n + T_{n-1} - n}{2} + 1 = \frac{n(n-1)}{2} + 1$ terms, and its first and last terms sum to $(n - T_{n-1}) + T_n = 2n,$ so the sum of the zeros is $S_n = n\left(\frac{n(n-1)}{2} + 1\right),$ which is increasing in $n.$

Now $S_{100} = 100 \cdot 4951$ $= 495{,}100 \le 500{,}000,$ while $S_{101} = 101 \cdot 5051$ $= 510{,}151 \gt 500{,}000.$ The least such $n$ is $101.$

9.

Mientras veían un espectáculo, Ayako, Billy, Carlos, Dahlia, Ehuang y Frank se sentaron en ese orden en una fila de seis sillas. Durante el descanso, fueron a la cocina por un refrigerio. Cuando regresaron, se sentaron en esas seis sillas de tal manera que si dos de ellos se sentaban uno al lado del otro antes del descanso, entonces no se sentaban uno al lado del otro después del descanso. Halle el número de posibles órdenes de asientos que pudieron haber elegido después del descanso.

While watching a show, Ayako, Billy, Carlos, Dahlia, Ehuang, and Frank sat in that order in a row of six chairs. During the break, they went to the kitchen for a snack. When they came back, they sat on those six chairs in such a way that if two of them sat next to each other before the break, then they did not sit next to each other after the break. Find the number of possible seating orders they could have chosen after the break.

Respuesta

Conceptos:arreglos con restricciones inclusión-exclusión permutaciones

Nivel de dificultad: 2840

Solución:

Numere a los amigos del $1$ al $6$ en el orden original de asientos; contamos los ordenamientos de $1, \ldots, 6$ en los que no hay dos enteros consecutivos adyacentes. Apliquemos inclusión-exclusión sobre cuáles de los cinco pares $\{i, i+1\}$ se ven forzados a sentarse juntos. Si un conjunto elegido de $k$ pares forma $r$ rachas maximales de enteros consecutivos, pegar cada racha en un bloque (que se puede ordenar de forma ascendente o descendente) da $2^r (6 - k)!$ disposiciones que contienen todas las adyacencias elegidas.

Contando según $k:$ para $k = 0,$ $720.$ Para $k = 1,$ cinco conjuntos, cada uno $2 \cdot 120,$ en total $1200.$ Para $k = 2,$ cuatro conjuntos forman una racha $(2 \cdot 24)$ y seis forman dos rachas $(4 \cdot 24),$ en total $768.$ Para $k = 3,$ tres conjuntos forman una racha $(2 \cdot 6),$ seis forman dos rachas $(4 \cdot 6),$ uno forma tres rachas $(8 \cdot 6),$ en total $228.$ Para $k = 4,$ dos conjuntos forman una racha $(2 \cdot 2)$ y tres forman dos rachas $(4 \cdot 2),$ en total $32.$ Para $k = 5,$ un conjunto, en total $2.$

El conteo es $720 - 1200 + 768$ $- 228 + 32 - 2 = 90.$

Number the friends $1$ through $6$ in original seating order; we count orderings of $1, \ldots, 6$ in which no two consecutive integers are adjacent. Apply inclusion-exclusion over which of the five pairs $\{i, i+1\}$ are forced to sit together. If a chosen set of $k$ pairs forms $r$ maximal runs of consecutive integers, gluing each run into a block (orderable ascending or descending) gives $2^r (6 - k)!$ seatings containing all chosen adjacencies.

Tallying by $k:$ for $k = 0,$ $720.$ For $k = 1,$ five sets, each $2 \cdot 120,$ total $1200.$ For $k = 2,$ four sets form one run $(2 \cdot 24)$ and six form two runs $(4 \cdot 24),$ total $768.$ For $k = 3,$ three sets form one run $(2 \cdot 6),$ six form two runs $(4 \cdot 6),$ one forms three runs $(8 \cdot 6),$ total $228.$ For $k = 4,$ two sets form one run $(2 \cdot 2)$ and three form two runs $(4 \cdot 2),$ total $32.$ For $k = 5,$ one set, total $2.$

The count is $720 - 1200 + 768$ $- 228 + 32 - 2 = 90.$

10.

Halle la suma de todos los enteros positivos $n$ tales que cuando $1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + n^3$ se divide entre $n + 5,$ el residuo es $17.$

Find the sum of all positive integers $n$ such that when $1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + n^3$ is divided by $n + 5,$ the remainder is $17.$

Respuesta

Conceptos:suma de los primeros n cubos aritmética modular divisibilidad

Nivel de dificultad: 2710

Solución:

Sea $K = \frac{n(n+1)}{2},$ de modo que la suma de cubos es $K^2.$ Módulo $n + 5$ tenemos $n \equiv -5,$ por lo que $2K = n(n+1)$ $\equiv (-5)(-4) = 20$ y $4K^2 \equiv 400.$ Si $K^2 \equiv 17 \pmod{n+5},$ entonces $n + 5$ divide a $400 - 4 \cdot 17 = 332 = 2^2 \cdot 83.$ Como un residuo de $17$ también obliga a $n + 5 \gt 17,$ los candidatos son $n + 5 \in \{83, 166, 332\},$ es decir $n \in \{78, 161, 327\}.$

Como multiplicamos por $4,$ cada candidato debe comprobarse. Para $n = 78:$ $K = 3081 \equiv 10 \pmod{83},$ y $10^2 = 100 \equiv 17 \pmod{83}.$ Para $n = 161:$ $K = 13041 \equiv 93 \pmod{166},$ y $93^2 = 8649 = 52 \cdot 166 + 17.$ Para $n = 327:$ $K = 53628 \equiv 176 \pmod{332},$ y $176^2 = 30976 = 93 \cdot 332 + 100,$ con residuo $100 \ne 17,$ así que este falla.

Los valores válidos son $n = 78$ y $n = 161,$ con suma $78 + 161 = 239.$

Let $K = \frac{n(n+1)}{2},$ so the sum of cubes is $K^2.$ Modulo $n + 5$ we have $n \equiv -5,$ hence $2K = n(n+1)$ $\equiv (-5)(-4) = 20$ and $4K^2 \equiv 400.$ If $K^2 \equiv 17 \pmod{n+5},$ then $n + 5$ divides $400 - 4 \cdot 17 = 332 = 2^2 \cdot 83.$ Since a remainder of $17$ also forces $n + 5 \gt 17,$ the candidates are $n + 5 \in \{83, 166, 332\},$ i.e. $n \in \{78, 161, 327\}.$

Because we multiplied by $4,$ each candidate must be checked. For $n = 78:$ $K = 3081 \equiv 10 \pmod{83},$ and $10^2 = 100 \equiv 17 \pmod{83}.$ For $n = 161:$ $K = 13041 \equiv 93 \pmod{166},$ and $93^2 = 8649 = 52 \cdot 166 + 17.$ For $n = 327:$ $K = 53628 \equiv 176 \pmod{332},$ and $176^2 = 30976 = 93 \cdot 332 + 100,$ remainder $100 \ne 17,$ so this one fails.

The valid values are $n = 78$ and $n = 161,$ with sum $78 + 161 = 239.$

11.

Sea $P(x) = x^2 - 3x - 7,$ y sean $Q(x)$ y $R(x)$ dos polinomios cuadráticos también con coeficiente de $x^2$ igual a $1.$ David calcula cada una de las tres sumas $P + Q,$ $P + R,$ y $Q + R$ y se sorprende al descubrir que cada par de estas sumas tiene una raíz común, y estas tres raíces comunes son distintas. Si $Q(0) = 2,$ entonces $R(0) = \frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halle $m + n.$

Let $P(x) = x^2 - 3x - 7,$ and let $Q(x)$ and $R(x)$ be two quadratic polynomials also with the coefficient of $x^2$ equal to $1.$ David computes each of the three sums $P + Q,$ $P + R,$ and $Q + R$ and is surprised to find that each pair of these sums has a common root, and these three common roots are distinct. If $Q(0) = 2,$ then $R(0) = \frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Conceptos:polinomio Fórmulas de Vieta sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 2920

Solución:

Sea $a$ la raíz común de $P+Q$ y $P+R,$ sea $b$ la de $P+Q$ y $Q+R,$ y sea $c$ la de $P+R$ y $Q+R.$ Cada suma es cuadrática con coeficiente principal $2,$ así que $P+Q = 2(x-a)(x-b),$ $P+R = 2(x-a)(x-c),$ y $Q+R = 2(x-b)(x-c).$ Escriba $Q = x^2 + qx + 2$ y $R = x^2 + rx + s.$ Por las fórmulas de Vieta, las sumas de raíces son $a + b = \frac{3-q}{2},$ $a + c = \frac{3-r}{2},$ y $b + c = -\frac{q+r}{2},$ así que $\begin{aligned} 2a &= (a+b) + (a+c) - (b+c) \\ &= \frac{3-q}{2} + \frac{3-r}{2} \\ &\quad {}+ \frac{q+r}{2} = 3, \end{aligned}$ lo que da $a = \frac{3}{2}.$

El término constante de $P + Q$ es $-7 + 2 = -5,$ así que $2ab = -5$ y $b = -\frac{5}{3}.$ Además $2ac = P(0) + R(0) = s - 7$ y $2bc = Q(0) + R(0) = s + 2.$ Restando, $2c(b - a) = 9,$ de donde $c = \frac{9}{2\left(-\frac{5}{3} - \frac{3}{2}\right)} = -\frac{27}{19}.$

Entonces $s = 2bc - 2$ $= 2 \cdot \left(-\frac{5}{3}\right)\left(-\frac{27}{19}\right) - 2$ $= \frac{90}{19} - \frac{38}{19} = \frac{52}{19},$ así que $R(0) = \frac{52}{19}$ y $m + n = 52 + 19 = 71.$

Let $a$ be the common root of $P+Q$ and $P+R,$ let $b$ be that of $P+Q$ and $Q+R,$ and let $c$ be that of $P+R$ and $Q+R.$ Each sum is quadratic with leading coefficient $2,$ so $P+Q = 2(x-a)(x-b),$ $P+R = 2(x-a)(x-c),$ and $Q+R = 2(x-b)(x-c).$ Write $Q = x^2 + qx + 2$ and $R = x^2 + rx + s.$ By Vieta's formulas, the root sums are $a + b = \frac{3-q}{2},$ $a + c = \frac{3-r}{2},$ and $b + c = -\frac{q+r}{2},$ so $\begin{aligned} 2a &= (a+b) + (a+c) - (b+c) \\ &= \frac{3-q}{2} + \frac{3-r}{2} \\ &\quad {}+ \frac{q+r}{2} = 3, \end{aligned}$ giving $a = \frac{3}{2}.$

The constant term of $P + Q$ is $-7 + 2 = -5,$ so $2ab = -5$ and $b = -\frac{5}{3}.$ Also $2ac = P(0) + R(0) = s - 7$ and $2bc = Q(0) + R(0) = s + 2.$ Subtracting, $2c(b - a) = 9,$ so $c = \frac{9}{2\left(-\frac{5}{3} - \frac{3}{2}\right)} = -\frac{27}{19}.$

Then $s = 2bc - 2$ $= 2 \cdot \left(-\frac{5}{3}\right)\left(-\frac{27}{19}\right) - 2$ $= \frac{90}{19} - \frac{38}{19} = \frac{52}{19},$ so $R(0) = \frac{52}{19}$ and $m + n = 52 + 19 = 71.$

12.

Sean $m$ y $n$ enteros impares mayores que $1.$ Un rectángulo $m \times n$ está formado por cuadrados unitarios donde los cuadrados de la fila superior están numerados de izquierda a derecha con los enteros del $1$ al $n,$ los de la segunda fila están numerados de izquierda a derecha con los enteros del $n + 1$ al $2n,$ y así sucesivamente. El cuadrado $200$ está en la fila superior, y el cuadrado $2000$ está en la fila inferior. Halle el número de pares ordenados $(m, n)$ de enteros impares mayores que $1$ con la propiedad de que, en el rectángulo $m \times n,$ la recta que pasa por los centros de los cuadrados $200$ y $2000$ corta el interior del cuadrado $1099.$

Let $m$ and $n$ be odd integers greater than $1.$ An $m \times n$ rectangle is made up of unit squares where the squares in the top row are numbered left to right with the integers $1$ through $n,$ those in the second row are numbered left to right with the integers $n + 1$ through $2n,$ and so on. Square $200$ is in the top row, and square $2000$ is in the bottom row. Find the number of ordered pairs $(m, n)$ of odd integers greater than $1$ with the property that, in the $m \times n$ rectangle, the line through the centers of squares $200$ and $2000$ intersects the interior of square $1099.$

Respuesta

Conceptos:geometría analítica pendiente punto medio análisis por casos

Nivel de dificultad: 3160

Solución:

Use coordenadas $(\text{column}, \text{row}).$ El cuadrado $200$ está en la fila superior, así que $n \ge 200$ (por lo tanto $n \ge 201$ por ser $n$ impar) y su centro es $(200, 1).$ El cuadrado $2000$ está en la fila inferior, así que su columna es $b = 2000 - (m-1)n$ con $1 \le b \le n,$ es decir $(m-1)n \lt 2000 \le mn,$ y su centro es $(b, m).$ Como $m$ y $n$ son impares, $b$ es par, así que el punto medio $\left(\frac{200 + b}{2}, \frac{m+1}{2}\right)$ de los dos centros tiene coordenadas enteras; su número de cuadrado es $\frac{(m-1)n + 200 + b}{2} = \frac{2200}{2} = 1100.$ Su columna $100 + \frac{b}{2}$ está entre $101$ y $n,$ así que la recta pasa por el centro del cuadrado $1100,$ y el cuadrado $1099$ está inmediatamente a su izquierda en la misma fila.

El cuadrado $1099$ está solo en esa fila, y la recta cruza la franja horizontal de esa fila en un segmento centrado (por simetría) en el centro del cuadrado $1100,$ que se extiende $\frac{1}{2|s|}$ hacia cada lado, donde $s = \frac{m-1}{b - 200}$ es la pendiente. Así, la recta corta el interior del cuadrado $1099$ exactamente cuando $\frac{1}{2|s|} \gt \frac{1}{2},$ es decir $|s| \lt 1,$ o sea $m - 1 \lt |b - 200|$ $= |1800 - (m-1)n|$ (una recta vertical, $b = 200,$ no cumple).

Como $n \ge 201$ y $(m-1)n \lt 2000,$ necesitamos $m - 1 \lt 10,$ así que $m \in \{3, 5, 7, 9\}.$ Para $m = 3:$ enteros impares $n \in [667, 999],$ $167$ valores, y excluyendo $|n - 900| \le 1$ (los casos impares $899, 901$ ) quedan $165.$ Para $m = 5:$ enteros impares $n \in [401, 499],$ $50$ valores, excluyendo $449, 451$ quedan $48.$ Para $m = 7:$ enteros impares $n \in [287, 333],$ $24$ valores, excluyendo $299, 301$ quedan $22.$ Para $m = 9:$ enteros impares $n \in [223, 249],$ $14$ valores, excluyendo $225$ quedan $13.$ El total es $165 + 48 + 22 + 13 = 248.$

Use coordinates $(\text{column}, \text{row}).$ Square $200$ is in the top row, so $n \ge 200$ (hence $n \ge 201$ as $n$ is odd) and its center is $(200, 1).$ Square $2000$ is in the bottom row, so its column is $b = 2000 - (m-1)n$ with $1 \le b \le n,$ i.e. $(m-1)n \lt 2000 \le mn,$ and its center is $(b, m).$ Since $m$ and $n$ are odd, $b$ is even, so the midpoint $\left(\frac{200 + b}{2}, \frac{m+1}{2}\right)$ of the two centers has integer coordinates; its square number is $\frac{(m-1)n + 200 + b}{2} = \frac{2200}{2} = 1100.$ Its column $100 + \frac{b}{2}$ lies between $101$ and $n,$ so the line passes through the center of square $1100,$ and square $1099$ sits immediately to its left in the same row.

Square $1099$ lies only in that row, and the line crosses that row's horizontal strip in a segment centered (by symmetry) at the center of square $1100,$ extending $\frac{1}{2|s|}$ to each side, where $s = \frac{m-1}{b - 200}$ is the slope. So the line meets the interior of square $1099$ exactly when $\frac{1}{2|s|} \gt \frac{1}{2},$ that is $|s| \lt 1,$ i.e. $m - 1 \lt |b - 200|$ $= |1800 - (m-1)n|$ (a vertical line, $b = 200,$ fails).

Since $n \ge 201$ and $(m-1)n \lt 2000,$ we need $m - 1 \lt 10,$ so $m \in \{3, 5, 7, 9\}.$ For $m = 3:$ odd $n \in [667, 999],$ $167$ values, excluding $|n - 900| \le 1$ (odd cases $899, 901$ ) leaves $165.$ For $m = 5:$ odd $n \in [401, 499],$ $50$ values, excluding $449, 451$ leaves $48.$ For $m = 7:$ odd $n \in [287, 333],$ $24$ values, excluding $299, 301$ leaves $22.$ For $m = 9:$ odd $n \in [223, 249],$ $14$ values, excluding $225$ leaves $13.$ The total is $165 + 48 + 22 + 13 = 248.$

13.

El pentágono convexo $ABCDE$ tiene longitudes de lado $AB = 5,$ $BC = CD = DE = 6,$ y $EA = 7.$ Además, el pentágono tiene una circunferencia inscrita (una circunferencia tangente a cada lado del pentágono). Halle el área de $ABCDE.$

Convex pentagon $ABCDE$ has side lengths $AB = 5,$ $BC = CD = DE = 6,$ and $EA = 7.$ Moreover, the pentagon has an inscribed circle (a circle tangent to each side of the pentagon). Find the area of $ABCDE.$

Respuesta

Conceptos:circunferencia inscrita, incentro e inradio recta tangente identidad trigonométrica

Nivel de dificultad: 3060

Solución:

Sean $a, b, c, d, e$ las longitudes de tangente desde $A, B, C, D, E$ hasta la circunferencia inscrita. Entonces $a + b = 5,$ $b + c = 6,$ $c + d = 6,$ $d + e = 6,$ y $e + a = 7.$ Las ecuaciones intermedias dan $d = b$ y $e = c,$ así que $c + a = 7;$ junto con $a + b = 5$ y $b + c = 6$ esto produce $a = 3,$ $b = d = 2,$ $c = e = 4.$ Si $r$ es el inradio, el ángulo interior en un vértice con longitud de tangente $t$ satisface $\tan\frac{\theta}{2} = \frac{r}{t},$ y los semiángulos suman la mitad de $540^\circ:$ $\begin{aligned} &\arctan\frac{r}{3} + 2\arctan\frac{r}{2} \\ &\quad {}+ 2\arctan\frac{r}{4} = 270^\circ. \end{aligned}$

Sea $\beta = \arctan\frac{r}{2}$ y $\gamma = \arctan\frac{r}{4}.$ Entonces $\arctan\frac{r}{3} = 270^\circ - 2(\beta + \gamma),$ y como $\tan(270^\circ - \theta) = \cot\theta,$ obtenemos $\frac{r}{3} = \cot 2(\beta + \gamma).$ Con $T = \tan(\beta + \gamma) = \frac{r/2 + r/4}{1 - r^2/8}$ $= \frac{6r}{8 - r^2},$ la identidad $\frac{r}{3} = \frac{1 - T^2}{2T}$ se convierte en $2rT = 3(1 - T^2),$ y sustituyendo $T$ y eliminando denominadores se obtiene $5r^4 - 84r^2 + 64 = 0,$ de donde $r^2 = 16$ o $r^2 = \frac{4}{5}.$ Para $r^2 = \frac{4}{5}$ cada semiángulo está muy por debajo de $54^\circ,$ así que la suma de semiángulos queda muy lejos de $270^\circ;$ esta raíz es extraña. Por lo tanto, $r = 4.$

El semiperímetro es $s = \frac{5 + 6 + 6 + 6 + 7}{2} = 15,$ así que el área es $rs = 4 \cdot 15 = 60.$

Let the tangent lengths from $A, B, C, D, E$ to the incircle be $a, b, c, d, e.$ Then $a + b = 5,$ $b + c = 6,$ $c + d = 6,$ $d + e = 6,$ and $e + a = 7.$ The middle equations give $d = b$ and $e = c,$ so $c + a = 7;$ with $a + b = 5$ and $b + c = 6$ this yields $a = 3,$ $b = d = 2,$ $c = e = 4.$ If $r$ is the inradius, the interior angle at a vertex with tangent length $t$ satisfies $\tan\frac{\theta}{2} = \frac{r}{t},$ and the half-angles sum to half of $540^\circ:$ $\begin{aligned} &\arctan\frac{r}{3} + 2\arctan\frac{r}{2} \\ &\quad {}+ 2\arctan\frac{r}{4} = 270^\circ. \end{aligned}$

Let $\beta = \arctan\frac{r}{2}$ and $\gamma = \arctan\frac{r}{4}.$ Then $\arctan\frac{r}{3} = 270^\circ - 2(\beta + \gamma),$ and since $\tan(270^\circ - \theta) = \cot\theta,$ we get $\frac{r}{3} = \cot 2(\beta + \gamma).$ With $T = \tan(\beta + \gamma) = \frac{r/2 + r/4}{1 - r^2/8}$ $= \frac{6r}{8 - r^2},$ the identity $\frac{r}{3} = \frac{1 - T^2}{2T}$ becomes $2rT = 3(1 - T^2),$ and substituting $T$ and clearing denominators gives $5r^4 - 84r^2 + 64 = 0,$ so $r^2 = 16$ or $r^2 = \frac{4}{5}.$ For $r^2 = \frac{4}{5}$ every half-angle is well under $54^\circ,$ so the half-angle sum falls far short of $270^\circ;$ this root is extraneous. Hence $r = 4.$

The semiperimeter is $s = \frac{5 + 6 + 6 + 6 + 7}{2} = 15,$ so the area is $rs = 4 \cdot 15 = 60.$

14.

Para un número real $x$ sea $\lfloor x \rfloor$ el mayor entero menor o igual que $x,$ y defina $\{x\} = x - \lfloor x \rfloor$ como la parte fraccionaria de $x.$ Por ejemplo, $\{3\} = 0$ y $\{4.56\} = 0.56.$ Defina $f(x) = x\{x\},$ y sea $N$ el número de soluciones reales de la ecuación $f(f(f(x))) = 17$ para $0 \le x \le 2020.$ Halle el residuo cuando $N$ se divide entre $1000.$

For real number $x$ let $\lfloor x \rfloor$ be the greatest integer less than or equal to $x,$ and define $\{x\} = x - \lfloor x \rfloor$ to be the fractional part of $x.$ For example, $\{3\} = 0$ and $\{4.56\} = 0.56.$ Define $f(x) = x\{x\},$ and let $N$ be the number of real-valued solutions to the equation $f(f(f(x))) = 17$ for $0 \le x \le 2020.$ Find the remainder when $N$ is divided by $1000.$

Respuesta

Conceptos:funciones piso y techo función Triángulo de Pascal

Nivel de dificultad: 3160

Solución:

En $[k, k+1)$ con $k \ge 0$ entero, escriba $x = k + t;$ entonces $f(x) = (k + t)t$ es estrictamente creciente desde $0$ hacia $k + 1,$ así que $f$ aplica $[k, k+1)$ biyectivamente sobre $[0, k+1).$ Por lo tanto, para cualquier $c$ con $n \lt c \lt n + 1,$ la ecuación $f(w) = c$ tiene exactamente una solución en $[k, k+1)$ para cada entero $k \ge n,$ y ninguna otra.

La ecuación $f(z) = 17$ tiene una solución $z_n \in (n, n+1)$ para cada $n \ge 17.$ A su vez, $f(w) = z_n$ tiene una solución en $(k, k+1)$ para cada $k \ge n.$ Por último, para $x \in [j, j+1)$ con $0 \le j \le 2019,$ $f$ aplica $[j, j+1)$ biyectivamente sobre $[0, j+1),$ así que el número de soluciones de $f(f(f(x))) = 17$ ahí es igual al número de tales $w$ con $w \lt j + 1,$ es decir el número de pares $(n, k)$ con $17 \le n \le k \le j,$ que es $\binom{j - 15}{2}.$ (El extremo $x = 2020$ da $f(x) = 0$ y no es solución.)

Por la identidad del palo de hockey, $\begin{aligned} N &= \sum_{j=17}^{2019} \binom{j - 15}{2} \\ &= \sum_{a=2}^{2004} \binom{a}{2} \\ &= \binom{2005}{3} \\ &= \frac{2005 \cdot 2004 \cdot 2003}{6} \\ &= 1{,}341{,}349{,}010, \end{aligned}$ así que el residuo cuando $N$ se divide entre $1000$ es $10.$

On $[k, k+1)$ with $k \ge 0$ an integer, write $x = k + t;$ then $f(x) = (k + t)t$ is strictly increasing from $0$ toward $k + 1,$ so $f$ maps $[k, k+1)$ bijectively onto $[0, k+1).$ Hence for any $c$ with $n \lt c \lt n + 1,$ the equation $f(w) = c$ has exactly one solution in $[k, k+1)$ for each integer $k \ge n,$ and no others.

The equation $f(z) = 17$ has one solution $z_n \in (n, n+1)$ for each $n \ge 17.$ In turn, $f(w) = z_n$ has one solution in $(k, k+1)$ for each $k \ge n.$ Finally, for $x \in [j, j+1)$ with $0 \le j \le 2019,$ $f$ maps $[j, j+1)$ bijectively onto $[0, j+1),$ so the number of solutions of $f(f(f(x))) = 17$ there equals the number of such $w$ with $w \lt j + 1,$ namely the number of pairs $(n, k)$ with $17 \le n \le k \le j,$ which is $\binom{j - 15}{2}.$ (The endpoint $x = 2020$ gives $f(x) = 0$ and is not a solution.)

By the hockey stick identity, $\begin{aligned} N &= \sum_{j=17}^{2019} \binom{j - 15}{2} \\ &= \sum_{a=2}^{2004} \binom{a}{2} \\ &= \binom{2005}{3} \\ &= \frac{2005 \cdot 2004 \cdot 2003}{6} \\ &= 1{,}341{,}349{,}010, \end{aligned}$ so the remainder when $N$ is divided by $1000$ is $10.$

15.

Sea $\triangle ABC$ un triángulo acutángulo escaleno con circunferencia circunscrita $\omega.$ Las tangentes a $\omega$ en $B$ y $C$ se cortan en $T.$ Sean $X$ y $Y$ las proyecciones de $T$ sobre las rectas $AB$ y $AC,$ respectivamente. Suponga que $BT = CT = 16,$ $BC = 22,$ y $TX^2 + TY^2 + XY^2 = 1143.$ Halle $XY^2.$

Let $\triangle ABC$ be an acute scalene triangle with circumcircle $\omega.$ The tangents to $\omega$ at $B$ and $C$ intersect at $T.$ Let $X$ and $Y$ be the projections of $T$ onto lines $AB$ and $AC,$ respectively. Suppose $BT = CT = 16,$ $BC = 22,$ and $TX^2 + TY^2 + XY^2 = 1143.$ Find $XY^2.$

Respuesta

Conceptos:recta tangente cuadrilátero cíclico ley de los senos geometría analítica

Nivel de dificultad: 3370

Solución:

Por el ángulo tangente-cuerda, $\angle TBC = A,$ así que $\angle ABT = B + A = 180^\circ - C$ y $TX = TB \sin\angle ABT = 16 \sin C;$ de manera similar $TY = 16 \sin B.$ Además $\angle AXT = \angle AYT = 90^\circ,$ así que $A, X, T, Y$ están sobre una circunferencia de diámetro $AT,$ de donde $XY = AT \sin A.$ Usando la ley de senos $\scriptsize\left(\sin A = \frac{11}{R},\ \sin B = \frac{AC}{2R},\ \sin C = \frac{AB}{2R}\right),$ la condición dada se convierte en $\begin{aligned} &\frac{64\left(AB^2 + AC^2\right) + 121\,AT^2}{R^2} \\ &= 1143. \end{aligned}$

Coloque $B = (-11, 0)$ y $C = (11, 0).$ Como $TB = 16$ y $T$ está en la mediatriz de $BC,$ obtenemos $T = (0, -\sqrt{135}).$ El circuncentro es $O = (0, k)$ con $OB \perp BT,$ lo que da $121 - k\sqrt{135} = 0,$ así que $k = \frac{121}{\sqrt{135}}$ y $R^2 = 121 + k^2 = \frac{30976}{135}.$ Para $A = (x, y)$ sobre $\omega,$ desarrollando $x^2 + (y - k)^2 = R^2$ se obtiene $x^2 + y^2 = \frac{242}{\sqrt{135}}\,y + 121.$ Por lo tanto $\begin{aligned} AB^2 + AC^2 &= 2(x^2 + y^2) + 242 \\ &= \frac{484}{\sqrt{135}}\,y + 484, \end{aligned}$ $\begin{aligned} AT^2 &= x^2 + y^2 \\ &\quad {}+ 2\sqrt{135}\,y + 135 \\ &= \frac{512}{\sqrt{135}}\,y + 256. \end{aligned}$

Sustituyendo, $64(AB^2 + AC^2) + 121\,AT^2$ $= \frac{92928}{\sqrt{135}}\,y + 61952$ $= 1143 \cdot \frac{30976}{135}$ produce $y = \frac{291}{\sqrt{135}}.$ Entonces $AT^2 = \frac{512 \cdot 291}{135} + 256 = \frac{183552}{135},$ y $\begin{aligned} XY^2 &= AT^2 \sin^2 A \\ &= \frac{121\,AT^2}{R^2} \\ &= \frac{121 \cdot 183552}{30976} \\ &= \frac{183552}{256} = 717. \end{aligned}$

By the tangent-chord angle, $\angle TBC = A,$ so $\angle ABT = B + A = 180^\circ - C$ and $TX = TB \sin\angle ABT = 16 \sin C;$ similarly $TY = 16 \sin B.$ Also $\angle AXT = \angle AYT = 90^\circ,$ so $A, X, T, Y$ lie on a circle with diameter $AT,$ whence $XY = AT \sin A.$ Using the law of sines $\scriptsize\left(\sin A = \frac{11}{R},\ \sin B = \frac{AC}{2R},\ \sin C = \frac{AB}{2R}\right),$ the given condition becomes $\begin{aligned} &\frac{64\left(AB^2 + AC^2\right) + 121\,AT^2}{R^2} \\ &= 1143. \end{aligned}$

Place $B = (-11, 0)$ and $C = (11, 0).$ Since $TB = 16$ and $T$ lies on the perpendicular bisector of $BC,$ we get $T = (0, -\sqrt{135}).$ The circumcenter is $O = (0, k)$ with $OB \perp BT,$ which gives $121 - k\sqrt{135} = 0,$ so $k = \frac{121}{\sqrt{135}}$ and $R^2 = 121 + k^2 = \frac{30976}{135}.$ For $A = (x, y)$ on $\omega,$ expanding $x^2 + (y - k)^2 = R^2$ gives $x^2 + y^2 = \frac{242}{\sqrt{135}}\,y + 121.$ Therefore $\begin{aligned} AB^2 + AC^2 &= 2(x^2 + y^2) + 242 \\ &= \frac{484}{\sqrt{135}}\,y + 484, \end{aligned}$ $\begin{aligned} AT^2 &= x^2 + y^2 \\ &\quad {}+ 2\sqrt{135}\,y + 135 \\ &= \frac{512}{\sqrt{135}}\,y + 256. \end{aligned}$

Substituting, $64(AB^2 + AC^2) + 121\,AT^2$ $= \frac{92928}{\sqrt{135}}\,y + 61952$ $= 1143 \cdot \frac{30976}{135}$ yields $y = \frac{291}{\sqrt{135}}.$ Then $AT^2 = \frac{512 \cdot 291}{135} + 256 = \frac{183552}{135},$ and $\begin{aligned} XY^2 &= AT^2 \sin^2 A \\ &= \frac{121\,AT^2}{R^2} \\ &= \frac{121 \cdot 183552}{30976} \\ &= \frac{183552}{256} = 717. \end{aligned}$