Question

¿Cuál es el mayor entero positivo que no es la suma de un múltiplo entero positivo de $42$ y un entero compuesto positivo?

What is the largest positive integer that is not the sum of a positive integral multiple of $42$ and a positive composite integer?

Respuesta

Respuesta: 215

Conceptos:aritmética modular factor argumento extremal

Nivel de dificultad: 2110

Pista pequeña:

Para cada residuo módulo $42$ , halla el menor entero compuesto positivo de esa clase

For each residue modulo $42$ , find the smallest positive composite integer in that residue

Pista grande:

Una vez que un número de una clase residual es representable, todo número $42$ unidades mayor de esa clase también lo es

Once one number in a residue class is representable, every number $42$ larger in that class is representable

Solución:

Un número de la clase residual $r\pmod {42}$ es representable cuando excede al menor compuesto positivo de esa clase en un múltiplo positivo de $42.$ Si el residuo $r$ es compuesto, él mismo aporta ese primer valor. Para los residuos restantes, unos primeros compuestos adecuados son $\begin{aligned}&0:42,\ 1:85,\ 2:44,\\&3:45,\ 5:215,\ 7:49,\\&11:95,\ 13:55,\ 17:143,\\&19:145,\ 23:65,\ 29:155,\\&31:115,\ 37:121,\ 41:125.\end{aligned}$ La mayor entrada es $215,$ y $215-42,$ $215-84,$ $215-126,$ $215-168,$ y $215-210$ son todos primos. Por lo tanto, $215$ no es representable, mientras que todo entero mayor sí lo es.

A number in residue class $r\pmod {42}$ is representable once it exceeds the first positive composite in that class by a positive multiple of $42.$ Composite residues $r$ themselves supply that first value. For the remaining residues, suitable first composites are $\begin{aligned}&0:42,\ 1:85,\ 2:44,\\&3:45,\ 5:215,\ 7:49,\\&11:95,\ 13:55,\ 17:143,\\&19:145,\ 23:65,\ 29:155,\\&31:115,\ 37:121,\ 41:125.\end{aligned}$ The largest entry is $215,$ and $215-42,$ $215-84,$ $215-126,$ $215-168,$ and $215-210$ are all prime. Hence $215$ is not representable, while every larger integer is.

1995 AIME Problema 10

Respuesta: 215

Nivel de dificultad: 2110

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 10 en otros años