Question

María le dijo a Juan su puntuación en el Examen Estadounidense de Matemáticas para Escuelas Secundarias (AHSME), que era mayor que $80.$ A partir de ella, Juan pudo determinar cuántos problemas había resuelto correctamente María. Si la puntuación de María hubiera sido menor, pero todavía mayor que $80,$ Juan no habría podido determinarlo. ¿Cuál era la puntuación de María? (Recuerda que el AHSME consta de $30$ problemas de opción múltiple y que la puntuación $s$ se calcula mediante la fórmula $s=30+4c-w,$ donde $c$ es la cantidad de respuestas correctas y $w$ la cantidad de respuestas incorrectas; no se penalizan los problemas sin responder).

Mary told John her score on the American High School Mathematics Examination (AHSME), which was over $80.$ From this, John was able to determine the number of problems Mary solved correctly. If Mary’s score had been any lower, but still over $80,$ John could not have determined this. What was Mary’s score? (Recall that the AHSME consists of $30$ multiple-choice problems and that one’s score, $s,$ is computed by the formula $s=30+4c-w,$ where $c$ is the number correct and $w$ is the number wrong; students are not penalized for problems left unanswered.)

Respuesta

Respuesta: 119

Conceptos:Ecuación diofántica conteo de enteros en un rango

Nivel de dificultad: 2360

Pista pequeña:

Para una puntuación fija $s,$ expresa la cantidad de respuestas incorrectas en términos de $s$ y $c$

For a fixed score $s,$ express the number wrong in terms of $s$ and $c$

Pista grande:

Usa $w\geq0$ y $c+w\leq30$ para acotar los posibles valores enteros de $c$

Use $w\geq0$ and $c+w\leq30$ to bound the possible integer values of $c$

Solución:

De $s=30+4c-w,$ obtenemos $w=30+4c-s.$ Las condiciones $w\geq0$ y $30-c-w\geq0$ dan $\left\lceil\frac{s-30}{4}\right\rceil \leq c\leq \left\lfloor\frac{s}{5}\right\rfloor.$ Al evaluar estos extremos enteros para las puntuaciones desde $81$ hasta $118$ , siempre quedan por lo menos dos valores posibles de $c.$ Cuando $s=119,$ ambos extremos son iguales a $23,$ así que Juan puede determinar que $c=23.$ Por lo tanto, la primera puntuación mayor que $80$ con la propiedad requerida es $119.$

From $s=30+4c-w,$ we have $w=30+4c-s.$ The conditions $w\geq0$ and $30-c-w\geq0$ give $\left\lceil\frac{s-30}{4}\right\rceil \leq c\leq \left\lfloor\frac{s}{5}\right\rfloor.$ Evaluating these integer endpoints for scores $81$ through $118$ always leaves at least two possible values of $c.$ At $s=119,$ both endpoints equal $23,$ so John can determine $c=23.$ Thus the first score over $80$ with the required property is $119.$

1984 AIME Problema 10

Respuesta: 119

Nivel de dificultad: 2360

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 10 en otros años