Question

En el tetraedro $ABCD,$ la arista $AB$ mide $3$ cm. El área de la cara $ABC$ es $15\text{ cm}^2$ y el área de la cara $ABD$ es $12\text{ cm}^2.$ Estas dos caras forman un ángulo de $30^\circ$ . Halla el volumen del tetraedro en $\text{cm}^3.$

In tetrahedron $ABCD,$ edge $AB$ has length $3$ cm. The area of face $ABC$ is $15\text{ cm}^2$ and the area of face $ABD$ is $12\text{ cm}^2.$ These two faces meet each other at a $30^\circ$ angle. Find the volume of the tetrahedron in $\text{cm}^3.$

Respuesta

Respuesta: 20

Conceptos:Geometría 3D área del triángulo volumen

Nivel de dificultad: 2650

Pista pequeña:

Halla las alturas desde $C$ y $D$ hasta la arista común $AB$

Find the altitudes from $C$ and $D$ to the common edge $AB$

Pista grande:

Expresa el volumen del tetraedro mediante la arista común, las dos alturas y el seno del ángulo diedro

Express the tetrahedron’s volume using the common edge, the two altitudes, and the sine of the dihedral angle

Solución:

Sean $h_C$ y $h_D$ las distancias perpendiculares de $C$ y $D$ a $AB.$ A partir de las áreas de las dos caras, $\begin{aligned} h_C&=\frac{2\cdot15}{3}=10,\\ h_D&=\frac{2\cdot12}{3}=8. \end{aligned}$ El ángulo entre estas dos direcciones perpendiculares es el ángulo diedro de $30^\circ$ . Por lo tanto, el producto triple escalar da $\begin{aligned} V&=\frac16(AB)h_Ch_D\sin30^\circ\\ &=\frac16\cdot3\cdot10\cdot8\cdot\frac12\\ &=20. \end{aligned}$

Let $h_C$ and $h_D$ be the perpendicular distances from $C$ and $D$ to $AB.$ From the two face areas, $\begin{aligned} h_C&=\frac{2\cdot15}{3}=10,\\ h_D&=\frac{2\cdot12}{3}=8. \end{aligned}$ The angle between these two perpendicular directions is the $30^\circ$ dihedral angle. Hence the scalar triple product gives $\begin{aligned} V&=\frac16(AB)h_Ch_D\sin30^\circ\\ &=\frac16\cdot3\cdot10\cdot8\cdot\frac12\\ &=20. \end{aligned}$

1984 AIME Problema 9

Respuesta: 20

Nivel de dificultad: 2650

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 9 en otros años