Question

Se lanza una moneda equilibrada $10$ veces. Sea $\frac{i}{j},$ en términos mínimos, la probabilidad de que nunca aparezcan caras en lanzamientos consecutivos. Halla $i+j.$

A fair coin is to be tossed $10$ times. Let $\frac{i}{j},$ in lowest terms, be the probability that heads never occur on consecutive tosses. Find $i+j.$

Respuesta

Respuesta: 73

Conceptos:conteo recursivo Fibonacci probabilidad básica

Nivel de dificultad: 2000

Pista pequeña:

Cuenta las secuencias válidas de $n$ lanzamientos según terminen en cruz o en cara

Count valid length- $n$ toss strings according to whether they end in tails or heads

Pista grande:

La recurrencia resultante es similar a la de Fibonacci, con valores iniciales $2$ y $3$

The resulting recurrence is Fibonacci-like, with initial counts $2$ and $3$

Solución:

Sea $u_n$ el número de secuencias de $n$ lanzamientos sin caras consecutivas. Una secuencia válida que termina en cruz se obtiene añadiendo $\mathrm{T}$ a cualquier secuencia válida de longitud $(n-1)$ , mientras que una que termina en cara se obtiene añadiendo $\mathrm{TH}$ a cualquier secuencia válida de longitud $(n-2)$ . Por tanto, $u_n=u_{n-1}+u_{n-2},$ con $u_1=2$ y $u_2=3.$ Esto da $u_{10}=144.$ La probabilidad es $\frac{144}{2^{10}}=\frac{9}{64},$ así que $i+j=9+64=73.$

Let $u_n$ be the number of length- $n$ toss strings with no consecutive heads. A valid string ending in tails is obtained by appending $\mathrm{T}$ to any valid length- $(n-1)$ string, while one ending in heads is obtained by appending $\mathrm{TH}$ to any valid length- $(n-2)$ string. Hence $u_n=u_{n-1}+u_{n-2},$ with $u_1=2$ and $u_2=3.$ This gives $u_{10}=144.$ The probability is $\frac{144}{2^{10}}=\frac{9}{64},$ so $i+j=9+64=73.$

1990 AIME Problema 9

Respuesta: 73

Nivel de dificultad: 2000

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 9 en otros años