Question

El triángulo $ABC$ tiene un ángulo recto en $B$ y contiene un punto $P$ para el cual $PA=10,$ $PB=6,$ y $\angle APB=\angle BPC=\angle CPA.$ Halla $PC.$

Triangle $ABC$ has a right angle at $B$ and contains a point $P$ for which $PA=10,$ $PB=6,$ and $\angle APB=\angle BPC=\angle CPA.$ Find $PC.$

Respuesta

Respuesta: 33

Conceptos:vector triángulo rectángulo

Nivel de dificultad: 2380

Pista pequeña:

Los tres ángulos iguales alrededor de $P$ miden $120^\circ$ cada uno

The three equal angles around $P$ are each $120^\circ$

Pista grande:

Usa vectores con origen en $P$ y convierte el ángulo recto en $B$ en un producto escalar

Use vectors from $P$ and translate the right angle at $B$ into a dot product

Solución:

Sean $\mathbf a,$ $\mathbf b,$ y $\mathbf c$ los vectores desde $P$ hasta $A,$ $B$ y $C,$ y sea $|\mathbf c|=x.$ Sus ángulos por parejas son de $120^\circ,$ así que $\mathbf a\cdot\mathbf b=-30,$ $\mathbf b\cdot\mathbf c=-3x,$ y $\mathbf a\cdot\mathbf c=-5x.$ Como $AB\perp BC,$

$(\mathbf a-\mathbf b)\cdot(\mathbf c-\mathbf b)=0.$ Al desarrollar se obtiene $-5x+30+3x+36=0,$ por lo que $x=33.$

Let $\mathbf a,$ $\mathbf b,$ and $\mathbf c$ be the vectors from $P$ to $A,$ $B,$ $C,$ and put $|\mathbf c|=x.$ Their pairwise angles are $120^\circ,$ so $\mathbf a\cdot\mathbf b=-30,$ $\mathbf b\cdot\mathbf c=-3x,$ and $\mathbf a\cdot\mathbf c=-5x.$ Since $AB\perp BC,$

$(\mathbf a-\mathbf b)\cdot(\mathbf c-\mathbf b)=0.$ Expanding gives $-5x+30+3x+36=0,$ so $x=33.$

1987 AIME Problema 9

Respuesta: 33

Nivel de dificultad: 2380

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 9 en otros años