Question

Una de las conjeturas de Euler fue refutada en la década de $1960$ por tres matemáticos estadounidenses cuando demostraron que existía un entero positivo $n$ tal que $133^5+110^5+84^5+27^5=n^5.$ Halla el valor de $n.$

One of Euler’s conjectures was disproved in the $1960$ s by three American mathematicians when they showed there was a positive integer $n$ such that $133^5+110^5+84^5+27^5=n^5.$ Find the value of $n.$

Respuesta

Respuesta: 144

Conceptos:estimación exponente operaciones con números enteros

Nivel de dificultad: 2090

Pista pequeña:

Estima la raíz quinta para reducir los posibles valores enteros de $n$

Estimate the fifth root to narrow the possible integer values of $n$

Pista grande:

Calcula las quintas potencias mediante cuadrados y multiplicaciones sucesivas, y compara su suma con el candidato cercano

Evaluate the fifth powers by repeated squaring and multiplication, then compare their sum with the nearby candidate

Solución:

La aritmética directa con enteros da $\begin{aligned}133^5&=41{,}615{,}795{,}893,\\110^5&=16{,}105{,}100{,}000,\\84^5&=4{,}182{,}119{,}424,\\27^5&=14{,}348{,}907.\end{aligned}$ Su suma es $61{,}917{,}364{,}224.$ Las multiplicaciones sucesivas también dan $144^5=61{,}917{,}364{,}224,$ así que el entero positivo $n$ es $144.$

Direct integer arithmetic gives $\begin{aligned}133^5&=41{,}615{,}795{,}893,\\110^5&=16{,}105{,}100{,}000,\\84^5&=4{,}182{,}119{,}424,\\27^5&=14{,}348{,}907.\end{aligned}$ Their sum is $61{,}917{,}364{,}224.$ Repeated multiplication also gives $144^5=61{,}917{,}364{,}224,$ so the positive integer $n$ is $144.$

1989 AIME Problema 9

Respuesta: 144

Nivel de dificultad: 2090

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 9 en otros años