Question

$1960$ 年代，三位美国数学家证明存在正整数 $n$ 使 $133^5+110^5+84^5+27^5=n^5\text{，}$ 从而推翻了欧拉的一个猜想。求 $n$ 的值。

One of Euler’s conjectures was disproved in the $1960$ s by three American mathematicians when they showed there was a positive integer $n$ such that $133^5+110^5+84^5+27^5=n^5.$ Find the value of $n.$

答案

答案：144

知识点：估算指数整数运算

难度评级：2090

小提示：

估算五次方根，以缩小 $n$ 的整数取值范围

Estimate the fifth root to narrow the possible integer values of $n$

大提示：

通过反复平方和乘法计算各个五次方，再将它们的和与附近的候选值比较

Evaluate the fifth powers by repeated squaring and multiplication, then compare their sum with the nearby candidate

解答：

直接进行整数运算，得到 $\begin{aligned}133^5&=41{,}615{,}795{,}893,\\110^5&=16{,}105{,}100{,}000,\\84^5&=4{,}182{,}119{,}424,\\27^5&=14{,}348{,}907\end{aligned}\text{。}$ 它们的和为 $61{,}917{,}364{,}224$ 。反复相乘也可得 $144^5=61{,}917{,}364{,}224$ ，所以正整数 $n$ 为 $144$ 。

Direct integer arithmetic gives $\begin{aligned}133^5&=41{,}615{,}795{,}893,\\110^5&=16{,}105{,}100{,}000,\\84^5&=4{,}182{,}119{,}424,\\27^5&=14{,}348{,}907.\end{aligned}$ Their sum is $61{,}917{,}364{,}224.$ Repeated multiplication also gives $144^5=61{,}917{,}364{,}224,$ so the positive integer $n$ is $144.$

1989 AIME 第 9 题

答案：144

难度评级：2090

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 9 题