Question

在 $\triangle ABC$ 中， $AB=425$ 、 $BC=450$ ，且 $AC=510$ 。取内部一点 $P$ ，并过 $P$ 作分别平行于三角形三边的线段。若这三条线段的长度都等于 $d$ ，求 $d$ 。

In $\triangle ABC,$ $AB=425,$ $BC=450,$ and $AC=510.$ An interior point $P$ is drawn, and segments are drawn through $P$ parallel to the sides of the triangle. If these three segments have equal length $d,$ find $d.$

答案

答案：306

知识点：代数变形面积比相似

难度评级：2350

小提示：

将 $P$ 到三条边的垂直距离分别用对应高归一化

Normalize the perpendicular distances from $P$ to the three sides

大提示：

平行于一条边的截线长度等于该边长乘以一减去对应的归一化距离

A cross-section parallel to a side has length equal to that side times one minus the corresponding normalized distance

解答：

令 $a=BC=450$ 、 $b=CA=510$ ，且 $c=AB=425$ 。令 $x$ 、 $y$ 和 $z$ 分别为 $P$ 到 $BC$ 、 $CA$ 和 $AB$ 的距离与对应高的比值。由面积分解可得 $x+y+z=1$ 。

由相似三角形，过 $P$ 且平行于 $BC$ 的线段长为 $a(1-x)$ ，同理另外两条线段的长度分别为 $b(1-y)$ 和 $c(1-z)$ 。三者都等于 $d$ ，所以 $\begin{aligned} x&=1-\frac da,\\ y&=1-\frac db,\\ z&=1-\frac dc \end{aligned}\text{。}$ 三者之和为 $1$ ，因而 $d=\frac{2abc}{ab+bc+ca}\text{。}$ 代入三条边长，得 $\begin{aligned} d&=\frac{195075000}{637500}\\ &=306 \end{aligned}\text{。}$

Write $a=BC=450,$ $b=CA=510,$ and $c=AB=425.$ Let $x,$ $y,$ and $z$ be the distances from $P$ to $BC,$ $CA,$ and $AB,$ respectively, each divided by the corresponding altitude. Area decomposition gives $x+y+z=1.$

By similar triangles, the segment through $P$ parallel to $BC$ has length $a(1-x),$ and similarly the other two lengths are $b(1-y)$ and $c(1-z).$ Since all three equal $d,$ $\begin{aligned} x&=1-\frac da,\\ y&=1-\frac db,\\ z&=1-\frac dc. \end{aligned}$ Their sum is $1,$ so $d=\frac{2abc}{ab+bc+ca}.$ Substituting the three side lengths gives $\begin{aligned} d&=\frac{195075000}{637500}\\ &=306. \end{aligned}$

1986 AIME 第 9 题

答案：306

难度评级：2350

小提示：

大提示：

解答：

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