Question

梯形 $ABCD$ 的边长满足 $AB=92$ 、 $BC=50$ 、 $CD=19$ 、 $AD=70$ ，且 $AB$ 平行于 $CD$ 。作一个圆，其圆心 $P$ 位于 $AB$ 上，并与 $BC$ 和 $AD$ 都相切。已知 $AP=\frac{m}{n}$ ，其中 $m$ 和 $n$ 是互质的正整数，求 $m+n$ 。

Trapezoid $ABCD$ has sides $AB=92,$ $BC=50,$ $CD=19,$ and $AD=70,$ with $AB$ parallel to $CD.$ A circle with center $P$ on $AB$ is drawn tangent to $BC$ and $AD.$ Given that $AP=\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers, find $m+n.$

答案

答案：164

知识点：坐标几何梯形相切圆

难度评级：2230

小提示：

将 $AB$ 放在 $x$ 轴上，比较点 $P$ 到两腰的距离

Put $AB$ on the $x$ -axis and compare the distances from $P$ to the two legs

大提示：

梯形的公共高会约去，所得方程只涉及 $AP$ 、 $PB$ 以及两腰的长度

The common trapezoid height cancels, leaving an equation involving $AP$ and $PB$ divided by the leg lengths

解答：

取 $A=(0,0)$ 、 $B=(92,0)$ ，并设梯形的高为 $h$ 。若 $P=(p,0)$ ，则该点到两腰 $AD$ 和 $BC$ 的垂直距离分别为 $\frac{hp}{70}$ 和 $\frac{h(92-p)}{50}$ 。圆与两腰都相切，所以这两个距离相等，即 $\frac p{70}=\frac{92-p}{50}\text{。}$ 因此 $120p=6440$ ，且 $AP=p=\frac{161}{3}$ 。所以 $m+n=161+3=164$ 。

Put $A=(0,0),$ $B=(92,0),$ and let the height of the trapezoid be $h.$ If $P=(p,0),$ its perpendicular distances to legs $AD$ and $BC$ are $\frac{hp}{70}$ and $\frac{h(92-p)}{50},$ respectively. Tangency to both legs makes these equal, so $\frac p{70}=\frac{92-p}{50}.$ Hence $120p=6440$ and $AP=p=\frac{161}{3}.$ Therefore $m+n=161+3=164.$

1992 AIME 第 9 题

答案：164

难度评级：2230

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 9 题