Question

在一个室内游戏中，魔术师请一名参与者想一个三位数 $(abc)$ ，其中 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 按所示顺序表示以 $10$ 为底的数字。随后，魔术师请这名参与者组成 $(acb)$ 、 $(bca)$ 、 $(bac)$ 、 $(cab)$ 和 $(cba)$ ，将这五个数相加，并说出它们的和 $N$ 。得知 $N$ 后，魔术师就能确定原数 $(abc)$ 。请扮演魔术师，在 $N=3194$ 时求 $(abc)$ 。

In a parlor game, the magician asks one of the participants to think of a three-digit number $(abc),$ where $a,$ $b,$ and $c$ represent base- $10$ digits in the indicated order. The magician then asks this person to form the numbers $(acb),$ $(bca),$ $(bac),$ $(cab),$ and $(cba),$ to add these five numbers, and to reveal their sum $N.$ If told $N,$ the magician can identify the original number $(abc).$ Play the role of the magician and determine $(abc)$ if $N=3194.$

答案

答案：358

知识点：数字位值方程组

难度评级：1830

小提示：

先把原数也包括在内，求六个排列数之和

First include the original number and sum all six permutations

大提示：

若 $s=a+b+c$ ，用 $s$ 和 $N$ 表示原数

If $s=a+b+c,$ express the original number in terms of $s$ and $N$

解答：

在六个排列数中，每个数字在每个数位上都出现两次，所以它们的总和为 $222(a+b+c)$ 。令 $s=a+b+c$ ，并将原数记为 $M$ 。由于其余五个数之和为 $3194$ ， $M=222s-3194\text{。}$ 因为 $100\leq M\leq999$ ，必须有 $15\leq s\leq18$ 。依次检验这四个值，得到 $M=136$ 、 $M=358$ 、 $M=580$ 和 $M=802$ 。其中只有 $358$ 的数字和等于假设值，即 $16$ 。因此原数为 $358$ 。

Across all six permutations, each digit occurs twice in each place, so their total is $222(a+b+c).$ Put $s=a+b+c$ and let the original number be $M.$ Since the other five sum to $3194,$ $M=222s-3194.$ Because $100\leq M\leq999,$ we need $15\leq s\leq18.$ Testing these four values gives $M=136,$ $M=358,$ $M=580,$ and $M=802,$ respectively. Only $358$ has digit sum equal to its assumed value, namely $16.$ Therefore the original number is $358.$

1986 AIME 第 10 题

答案：358

难度评级：1830

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 10 题