Question

欧拉公式指出，对于有 $V$ 个顶点、 $E$ 条棱和 $F$ 个面的凸多面体，有 $V-E+F=2$ 。某个凸多面体有 $32$ 个面，每个面都是三角形或五边形。在它的 $V$ 个顶点中的每一个处，都有 $T$ 个三角形面和 $P$ 个五边形面相交。求 $100P+10T+V$ 的值。

Euler’s formula states that for a convex polyhedron with $V$ vertices, $E$ edges, and $F$ faces, $V-E+F=2.$ A particular convex polyhedron has $32$ faces, each of which is either a triangle or a pentagon. At each of its $V$ vertices, $T$ triangular faces and $P$ pentagonal faces meet. What is the value of $100P+10T+V?$

答案

答案：250

知识点：双重计数欧拉多面体公式多面体

难度评级：2500

小提示：

设 $x$ 为三角形面的个数，并分别对面与棱、面与顶点的关联数进行计数

Let $x$ be the number of triangular faces and count face-edge and face-vertex incidences

大提示：

用欧拉公式将 $x$ 表示为 $V$ 的式子，再得到关于 $V$ 的两个整除条件

Use Euler’s formula to express $x$ in terms of $V$ , then obtain two divisibility conditions on $V$

解答：

设 $x$ 为三角形面的个数，则五边形面有 $32-x$ 个，并且 $E=\frac{3x+5(32-x)}2=80-x\text{。}$ 由欧拉公式得 $V+x=50$ 。对面与顶点的关联数进行计数，可得 $\begin{aligned}TV&=3x=150-3V,\\PV&=5(32-x)=5V-90\end{aligned}\text{。}$ 因此 $V(T+3)=150$ ，且 $V(5-P)=90$ 。又因为 $18\leq V\leq50$ ，所以在这个范围内， $150$ 与 $90$ 唯一的公因数是 $V=30$ 。于是 $T=2$ 、 $P=2$ ，从而 $100P+10T+V=250$ 。

Let $x$ be the number of triangular faces, so there are $32-x$ pentagons and $E=\frac{3x+5(32-x)}2=80-x.$ Euler’s formula gives $V+x=50.$ Counting face-vertex incidences yields $\begin{aligned}TV&=3x=150-3V,\\PV&=5(32-x)=5V-90.\end{aligned}$ Hence $V(T+3)=150$ and $V(5-P)=90.$ Also $18\leq V\leq50,$ so the only common divisor of $150$ and $90$ in that range is $V=30.$ Then $T=2$ and $P=2,$ giving $100P+10T+V=250.$

1993 AIME 第 10 题

答案：250

难度评级：2500

小提示：

大提示：

解答：

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