Question

一个凸多面体的面包括 $12$ 个正方形、 $8$ 个正六边形和 $6$ 个正八边形。在每个顶点处，恰有一个正方形、一个正六边形和一个正八边形相交。连接多面体顶点的线段中，有多少条位于多面体内部，而不是落在棱或面上？

A convex polyhedron has for its faces $12$ squares, $8$ regular hexagons, and $6$ regular octagons. At each vertex of the polyhedron one square, one hexagon, and one octagon meet. How many segments joining vertices of the polyhedron lie in the interior of the polyhedron rather than along an edge or a face?

答案

答案：840

知识点：多面体双重计数组合

难度评级：2170

小提示：

分别对面与顶点、面与棱的关联进行双重计数，以求 $V$ 和 $E$

Double-count face-vertex and face-edge incidences to find $V$ and $E$

大提示：

计算所有顶点对，再减去同处一面的顶点对，并修正对棱的重复计数

Count all vertex pairs, then subtract pairs lying together on a face, correcting the double count of edges

解答：

面与顶点的关联总数为 $12(4)+8(6)+6(8)=144$ 。每个顶点有三个面相交，所以 $V=48$ 。同一个和式对每条棱计数两次，所以 $E=72$ 。

共有 $\binom{48}{2}=1128$ 个顶点对。逐面计算顶点对得到 $12\binom42+8\binom62+6\binom82=360$ 。在此和式中，每条棱被计算两次，其他同面顶点对各计算一次，所以不同的边界顶点对共有 $360-E=288$ 。因此有 $1128-288=840$ 条连接线段位于内部。

The total number of face-vertex incidences is $12(4)+8(6)+6(8)=144.$ Three faces meet at each vertex, so $V=48.$ The same sum counts each edge twice, so $E=72.$

There are $\binom{48}{2}=1128$ vertex pairs. Summing pairs on faces gives $12\binom42+8\binom62+6\binom82=360.$ Every edge was counted twice in this sum and every other same-face pair once, so the number of distinct boundary pairs is $360-E=288.$ Hence $1128-288=840$ joining segments lie in the interior.

1988 AIME 第 10 题

答案：840

难度评级：2170

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 10 题