Question

数 $1447$ 、 $1005$ 和 $1231$ 有一个共同点：它们都是以 $1$ 开头且恰有两个相同数字的四位数。这样的数共有多少个？

The numbers $1447,$ $1005,$ and $1231$ have something in common: each is a four-digit number beginning with $1$ that has exactly two identical digits. How many such numbers are there?

答案

答案：432

知识点：数字分类讨论乘法原理

难度评级：1900

小提示：

把重复数字为 $1$ 的情形与其他情形分开

Separate the case where the repeated digit is $1$ from the case where it is not

大提示：

在每种情形中，先选择重复数字所在的位置，再选择剩下的不同数字

In each case, choose the repeated digit’s positions before choosing the remaining distinct digit

解答：

若重复数字是 $1$ ，则后三位中恰有一位是 $1$ 。该位置有 $3$ 种选择，下一个数字有 $9$ 种选择，最后一个数字有 $8$ 种选择，因为后两个数字必须彼此不同且都不等于 $1$ 。因此共有 $3\cdot9\cdot8=216$ 个数。

若重复的是 $1$ 以外的数字，则重复数字有 $9$ 种选择，在后三位中选择它出现的两个位置有 $3$ 种方法，剩余数字有 $8$ 种选择。因此又有 $9\cdot3\cdot8=216$ 个数，总数为 $216+216=432$ 。

If $1$ is the repeated digit, exactly one of the last three positions contains $1.$ There are $3$ choices for that position, $9$ choices for the next digit, and $8$ for the last digit, since those two digits must differ from each other and from $1.$ This gives $3\cdot9\cdot8=216$ numbers.

If a digit other than $1$ is repeated, there are $9$ choices for that digit, $3$ ways to choose its two positions among the last three, and $8$ choices for the remaining digit. This gives another $9\cdot3\cdot8=216$ numbers. The total is $216+216=432.$

1983 AIME 第 10 题

答案：432

难度评级：1900

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 10 题