Question

玛丽告诉约翰她在美国高中数学竞赛（AHSME）中的分数，该分数高于 $80$ 。由此，约翰能够确定玛丽答对的题数。如果玛丽的分数是任何一个更低但仍高于 $80$ 的分数，约翰就无法确定答对的题数。玛丽的分数是多少？（AHSME 共有 $30$ 道选择题，分数 $s$ 按公式 $s=30+4c-w$ 计算，其中 $c$ 为答对题数， $w$ 为答错题数；未作答的题不扣分。）

Mary told John her score on the American High School Mathematics Examination (AHSME), which was over $80.$ From this, John was able to determine the number of problems Mary solved correctly. If Mary’s score had been any lower, but still over $80,$ John could not have determined this. What was Mary’s score? (Recall that the AHSME consists of $30$ multiple-choice problems and that one’s score, $s,$ is computed by the formula $s=30+4c-w,$ where $c$ is the number correct and $w$ is the number wrong; students are not penalized for problems left unanswered.)

答案

答案：119

知识点：丢番图方程区间内整数计数

难度评级：2360

小提示：

对于固定分数 $s$ ，用 $s$ 和 $c$ 表示答错题数

For a fixed score $s,$ express the number wrong in terms of $s$ and $c$

大提示：

利用 $w\geq0$ 和 $c+w\leq30$ 限定 $c$ 可能的整数值

Use $w\geq0$ and $c+w\leq30$ to bound the possible integer values of $c$

解答：

由 $s=30+4c-w$ ，可得 $w=30+4c-s$ 。条件 $w\geq0$ 和 $30-c-w\geq0$ 给出 $\left\lceil\frac{s-30}{4}\right\rceil \leq c\leq \left\lfloor\frac{s}{5}\right\rfloor\text{。}$ 对从 $81$ 到 $118$ 的各个分数计算这两个整数端点，总会得到至少两个可能的 $c$ 值。当 $s=119$ 时，两个端点都等于 $23$ ，所以约翰能确定 $c=23$ 。因此，满足要求的第一个高于 $80$ 的分数是 $119$ 。

From $s=30+4c-w,$ we have $w=30+4c-s.$ The conditions $w\geq0$ and $30-c-w\geq0$ give $\left\lceil\frac{s-30}{4}\right\rceil \leq c\leq \left\lfloor\frac{s}{5}\right\rfloor.$ Evaluating these integer endpoints for scores $81$ through $118$ always leaves at least two possible values of $c.$ At $s=119,$ both endpoints equal $23,$ so John can determine $c=23.$ Thus the first score over $80$ with the required property is $119.$

1984 AIME 第 10 题

答案：119

难度评级：2360

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 10 题