Question

Supón que $\sec x+\tan x=\frac{22}{7}$ y que $\csc x+\cot x=\frac{m}{n},$ donde $\frac{m}{n}$ está en su mínima expresión. Halla $m+n.$

Suppose that $\sec x+\tan x=\frac{22}{7}$ and that $\csc x+\cot x=\frac{m}{n},$ where $\frac{m}{n}$ is in lowest terms. Find $m+n.$

Respuesta

Respuesta: 44

Conceptos:identidad trigonométrica manipulación algebraica fracción

Nivel de dificultad: 2020

Pista pequeña:

Si $u=\sec x+\tan x$ , entonces $\sec x-\tan x=\frac{1}{u}$

If $u=\sec x+\tan x$ , then $\sec x-\tan x=\frac{1}{u}$

Pista grande:

Reescribe $\csc x+\cot x$ como $\frac{\sec x+1}{\tan x}$

Rewrite $\csc x+\cot x$ as $\frac{\sec x+1}{\tan x}$

Solución:

Sea $u=\sec x+\tan x=\frac{22}{7}.$ Como el producto de $\sec x+\tan x$ y $\sec x-\tan x$ es $1,$ $\begin{aligned}\sec x&=\frac{u+u^{-1}}2,\\\tan x&=\frac{u-u^{-1}}2.\end{aligned}$ Además, $\begin{aligned}\csc x+\cot x&=\frac{1+\cos x}{\sin x}\\&=\frac{\sec x+1}{\tan x}\\&=\frac{u+1}{u-1}.\end{aligned}$ Al sustituir $u=\frac{22}{7}$ se obtiene $\frac{29}{15}.$ Así, $m+n=29+15=44.$

Let $u=\sec x+\tan x=\frac{22}{7}.$ Since $\sec x+\tan x$ and $\sec x-\tan x$ have product $1,$ $\begin{aligned}\sec x&=\frac{u+u^{-1}}2,\\\tan x&=\frac{u-u^{-1}}2.\end{aligned}$ Also $\begin{aligned}\csc x+\cot x&=\frac{1+\cos x}{\sin x}\\&=\frac{\sec x+1}{\tan x}\\&=\frac{u+1}{u-1}.\end{aligned}$ Substituting $u=\frac{22}{7}$ gives $\frac{29}{15}.$ Thus $m+n=29+15=44.$

1991 AIME Problema 9

Respuesta: 44

Nivel de dificultad: 2020

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 9 en otros años