Question

¿Para cuántos números reales $a$ tiene la ecuación cuadrática $x^2+ax+6a=0$ únicamente raíces enteras en $x$ ?

For how many real numbers $a$ does the quadratic equation $x^2+ax+6a=0$ have only integer roots for $x?$

Respuesta

Respuesta: 10

Conceptos:Ecuación diofántica Fórmulas de Vieta factorización

Nivel de dificultad: 1860

Pista pequeña:

Sean $r$ y $s$ las dos raíces enteras, y elimina $a$ usando las fórmulas de Vieta

Let the two integer roots be $r$ and $s$ , and eliminate $a$ using Vieta’s formulas

Pista grande:

Después de obtener $rs=-6(r+s)$ , completa un producto

Complete a product after obtaining $rs=-6(r+s)$

Solución:

Sean $r$ y $s$ las raíces enteras. Las fórmulas de Vieta dan $r+s=-a$ y $rs=6a,$ así que $rs=-6(r+s).$ Por lo tanto, $(r+6)(s+6)=36.$ Recíprocamente, cada factorización entera ordenada $uv=36$ produce las raíces enteras $r=u-6,$ $s=v-6,$ y el valor $a=12-u-v.$ Las parejas no ordenadas de factores positivos de $36$ tienen sumas $37,$ $20,$ $15,$ $13,$ $12,$ y las parejas negativas correspondientes tienen como sumas los opuestos de estos números. Estas diez sumas son distintas, por lo que dan $10$ valores distintos de $a.$

Let the integer roots be $r$ and $s.$ Vieta’s formulas give $r+s=-a$ and $rs=6a,$ so $rs=-6(r+s).$ Therefore $(r+6)(s+6)=36.$ Conversely, every ordered integer factorization $uv=36$ gives integer roots $r=u-6,$ $s=v-6,$ and $a=12-u-v.$ Unordered positive factor pairs of $36$ have sums $37,$ $20,$ $15,$ $13,$ $12,$ and the corresponding negative factor pairs have their negatives as sums. These ten sums are distinct, so they give $10$ distinct values of $a.$

1991 AIME Problema 8

Respuesta: 10

Nivel de dificultad: 1860

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 8 en otros años