Question

Para cualquier sucesión de números reales $A=(a_1,a_2,a_3,\ldots),$ define $\Delta A$ como la sucesión $(a_2-a_1,a_3-a_2,a_4-a_3,\ldots),$ cuyo término $n$ -ésimo es $a_{n+1}-a_n.$ Supón que todos los términos de la sucesión $\Delta(\Delta A)$ son $1,$ y que $a_{19}=a_{92}=0.$ Halla $a_1.$

For any sequence of real numbers $A=(a_1,a_2,a_3,\ldots),$ define $\Delta A$ to be the sequence $(a_2-a_1,a_3-a_2,a_4-a_3,\ldots),$ whose $n$ th term is $a_{n+1}-a_n.$ Suppose that all of the terms of the sequence $\Delta(\Delta A)$ are $1,$ and that $a_{19}=a_{92}=0.$ Find $a_1.$

Respuesta

Respuesta: 819

Conceptos:cuadrática recursión factorización

Nivel de dificultad: 1980

Pista pequeña:

Una sucesión con segunda diferencia constante igual a $1$ viene dada por un polinomio cuadrático con coeficiente principal $\frac{1}{2}$

A sequence with constant second difference $1$ is given by a quadratic with leading coefficient $\frac{1}{2}$

Pista grande:

Usa los dos términos nulos para escribir el polinomio cuadrático en forma factorizada

Use the two zero terms to write the quadratic in factored form

Solución:

Una sucesión cuadrática con segunda diferencia $1$ tiene coeficiente principal $\frac{1}{2}.$ Como sus valores se anulan en los índices $19$ y $92,$ $a_n=\frac12(n-19)(n-92).$ Por lo tanto, $a_1=\frac12(-18)(-91)=819.$

A quadratic sequence with second difference $1$ has leading coefficient $\frac{1}{2}.$ Since its values vanish at indices $19$ and $92,$ $a_n=\frac12(n-19)(n-92).$ Therefore $a_1=\frac12(-18)(-91)=819.$

1992 AIME Problema 8

Respuesta: 819

Nivel de dificultad: 1980

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 8 en otros años