Question

La media armónica de dos números positivos es el recíproco de la media aritmética de sus recíprocos. ¿Para cuántos pares ordenados de enteros positivos $(x,y),$ con $x<y,$ la media armónica de $x$ y $y$ es igual a $6^{20}$ ?

The harmonic mean of two positive numbers is the reciprocal of the arithmetic mean of their reciprocals. For how many ordered pairs of positive integers $(x,y),$ with $x<y,$ is the harmonic mean of $x$ and $y$ equal to $6^{20}?$

Respuesta

Respuesta: 799

Conceptos:media armónica conteo de factores factorización en primos

Nivel de dificultad: 2380

Pista pequeña:

Para $N=6^{20},$ convierte $\frac{2xy}{x+y}=N$ en un producto

For $N=6^{20},$ rearrange $\frac{2xy}{x+y}=N$ into a product

Pista grande:

Cuenta los pares de factores complementarios de $N^2$ en los que ambos factores son pares

Count complementary factor pairs of $N^2$ in which both factors are even

Solución:

Sea $N=6^{20}.$ Al reordenar la ecuación de la media armónica se obtiene $(2x-N)(2y-N)=N^2.$ Como $x<N<y$ y $N<2x,$ los dos factores son positivos y ambos deben ser pares. Recíprocamente, cada factorización $AB=N^2$ con $A<B$ y ambos factores pares da un par válido mediante $x=\frac{A+N}{2}$ y $y=\frac{B+N}{2}.$

Ahora $N^2=2^{40}3^{40}.$ Para que ambos factores complementarios sean pares, el exponente de $2$ en $A$ puede ser $1,\ldots,39,$ mientras que el exponente de $3$ puede ser $0,\ldots,40.$ Esto produce $39\cdot41=1599$ divisores $A,$ incluido el factor central $A=N.$ Al emparejar divisores complementarios y excluir el caso central se obtiene $\frac{1599-1}{2}=799.$

Let $N=6^{20}.$ Rearranging the harmonic-mean equation gives $(2x-N)(2y-N)=N^2.$ Because $x<N<y$ and $N<2x,$ the two factors are positive, and both must be even. Conversely, each factorization $AB=N^2$ with even $A<B$ gives one valid pair via $x=\frac{A+N}{2}$ and $y=\frac{B+N}{2}.$

Now $N^2=2^{40}3^{40}.$ For both complementary factors to be even, the exponent of $2$ in $A$ can be $1,\ldots,39,$ while the exponent of $3$ can be $0,\ldots,40.$ This gives $39\cdot41=1599$ divisors $A,$ including the central factor $A=N.$ Pairing complementary divisors and excluding that central case gives $\frac{1599-1}{2}=799.$

1996 AIME Problema 8

Respuesta: 799

Nivel de dificultad: 2380

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 8 en otros años