Soluciones del 1996 AIME | LIVE by Po-Shen Loh

1.

En un cuadrado mágico, la suma de las tres entradas de cualquier fila, columna o diagonal tiene el mismo valor. La figura muestra cuatro de las entradas de un cuadrado mágico. Halla $x.$

In a magic square, the sum of the three entries in any row, column, or diagonal is the same value. The figure shows four of the entries of a magic square. Find $x.$

Respuesta

Conceptos:cuadrado mágico sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 1650

Pista pequeña:

Sea $e$ la entrada central y $S$ la suma común

Let $e$ be the center entry and $S$ the common sum

Pista grande:

En un cuadrado mágico de $3\times3,$ $S=3e$ y las entradas opuestas suman $2e$

In a $3\times3$ magic square, $S=3e$ and opposite entries sum to $2e$

Solución:

Sea $e$ la entrada central y $S$ la suma común. En cualquier cuadrado mágico de $3\times3,$ $S=3e$ y las entradas opuestas respecto del centro suman $2e.$ Por lo tanto, la entrada inferior izquierda es $2e-96.$ La primera columna y la primera fila dan $\begin{aligned}x+1+(2e-96)&=3e,\\x+19+96&=3e.\end{aligned}$ La primera ecuación da $e=x-95,$ mientras que la segunda da $3e=x+115.$ Por consiguiente, $3x-285=x+115,$ así que $x=200.$

Let the center entry be $e$ and the common sum be $S.$ In any $3\times3$ magic square, $S=3e$ and entries opposite across the center sum to $2e.$ Thus the bottom-left entry is $2e-96.$ The first column and first row give $\begin{aligned}x+1+(2e-96)&=3e,\\x+19+96&=3e.\end{aligned}$ The first equation says $e=x-95,$ while the second says $3e=x+115.$ Hence $3x-285=x+115,$ so $x=200.$

2.

Para cada número real $x,$ sea $\lfloor x\rfloor$ el mayor entero que no excede a $x.$ ¿Para cuántos enteros positivos $n$ se cumple que $n<1000$ y que $\lfloor\log_2 n\rfloor$ es un entero positivo par?

For each real number $x,$ let $\lfloor x\rfloor$ denote the greatest integer that does not exceed $x.$ For how many positive integers $n$ is it true that $n<1000$ and that $\lfloor\log_2 n\rfloor$ is a positive even integer?

Respuesta

Conceptos:funciones piso y techo logaritmo conteo de enteros en un rango

Nivel de dificultad: 1740

Pista pequeña:

Convierte cada valor posible de $\lfloor\log_2n\rfloor$ en un intervalo entre potencias de dos

Translate each possible value of $\lfloor\log_2n\rfloor$ into a power-of-two interval

Pista grande:

Los posibles valores pares menores que $1000$ son $2,$ $4,$ $6,$ y $8$

The possible even values below $1000$ are $2,$ $4,$ $6,$ and $8$

Solución:

Si $\lfloor\log_2n\rfloor=k,$ entonces $2^k\leq n<2^{k+1}.$ El valor de $k$ puede ser $2,$ $4,$ $6,$ u $8,$ pues $2^{10}>1000.$ Los tamaños de los intervalos correspondientes son $2^2,$ $2^4,$ $2^6,$ y $2^8.$ Por lo tanto, la cantidad pedida es $4+16+64+256=340.$

If $\lfloor\log_2n\rfloor=k,$ then $2^k\leq n<2^{k+1}.$ The value of $k$ can be $2,$ $4,$ $6,$ or $8,$ since $2^{10}>1000.$ The corresponding interval sizes are $2^2,$ $2^4,$ $2^6,$ and $2^8.$ Therefore the requested number is $4+16+64+256=340.$

3.

Halla el menor entero positivo $n$ para el cual la expansión de $(xy-3x+7y-21)^n,$ después de reducir términos semejantes, tiene al menos $1996$ términos.

Find the smallest positive integer $n$ for which the expansion of $(xy-3x+7y-21)^n,$ after like terms have been collected, has at least $1996$ terms.

Respuesta

Conceptos:factorización teorema del binomio conteo de pares

Nivel de dificultad: 1690

Pista pequeña:

Factoriza la expresión antes de elevarla a la $n$ -ésima potencia

Factor the expression before raising it to the $n$ th power

Pista grande:

Cuenta las distintas elecciones de los exponentes de $x$ y $y$

Count the distinct choices of the exponents of $x$ and $y$

Solución:

La base se factoriza como $\begin{gathered}xy-3x+7y-21\\=(x+7)(y-3).\end{gathered}$ Por tanto, su $n$ -ésima potencia es $(x+7)^n(y-3)^n.$ Cada exponente de $x$ desde $0$ hasta $n$ puede aparecer con cada exponente de $y$ desde $0$ hasta $n,$ y todos los coeficientes resultantes son distintos de cero. Así, hay $(n+1)^2$ términos. Como $44^2<1996\leq45^2,$ el menor valor posible de $n+1$ es $45,$ por lo que $n=44.$

The base factors as $\begin{gathered}xy-3x+7y-21\\=(x+7)(y-3).\end{gathered}$ Hence its $n$ th power is $(x+7)^n(y-3)^n.$ Each exponent of $x$ from $0$ through $n$ can occur with each exponent of $y$ from $0$ through $n,$ and every resulting coefficient is nonzero. Thus there are $(n+1)^2$ terms. Since $44^2<1996\leq45^2,$ the least possible $n+1$ is $45,$ so $n=44.$

4.

Un cubo de madera cuyas aristas miden un centímetro descansa sobre una superficie horizontal. Iluminado por una fuente puntual situada $x$ centímetros directamente por encima de un vértice superior, el cubo proyecta una sombra sobre la superficie horizontal. El área de la sombra, sin incluir el área debajo del cubo, es de $48$ centímetros cuadrados. Halla el mayor entero que no excede a $1000x.$

A wooden cube, whose edges are one centimeter long, rests on a horizontal surface. Illuminated by a point source of light that is $x$ centimeters directly above an upper vertex, the cube casts a shadow on the horizontal surface. The area of the shadow, which does not include the area beneath the cube, is $48$ square centimeters. Find the greatest integer that does not exceed $1000x.$

Respuesta

Conceptos:geometría del cubo semejanza área

Nivel de dificultad: 1940

Pista pequeña:

Proyecta la cara superior del cubo sobre la superficie horizontal desde la fuente de luz

Project the cube’s upper face onto the horizontal surface from the light source

Pista grande:

Por semejanza, el lado de la proyección mide $\frac{x+1}{x}$

Similar triangles give the projected side length as $\frac{x+1}{x}$

Solución:

La fuente de luz está a $x+1$ centímetros sobre la superficie y a $x$ centímetros sobre la cara superior del cubo. Por semejanza, la proyección de esa cara cuadrada unitaria es un cuadrado de lado $\frac{x+1}{x}.$ Este cuadrado contiene el área cuadrada unitaria debajo del cubo, así que $\left(\frac{x+1}{x}\right)^2-1=48.$ Por tanto, $\frac{x+1}{x}=7,$ lo que da $x=\frac{1}{6}.$ El mayor entero que no excede a $1000x=166\frac23$ es $166.$

The light is $x+1$ centimeters above the surface and $x$ centimeters above the cube’s top face. By similarity, the projection of that unit-square face is a square of side $\frac{x+1}{x}.$ This square contains the unit-square area beneath the cube, so $\left(\frac{x+1}{x}\right)^2-1=48.$ Therefore $\frac{x+1}{x}=7,$ giving $x=\frac{1}{6}.$ The greatest integer not exceeding $1000x=166\frac23$ is $166.$

5.

Supón que las raíces de $x^3+3x^2+4x-11=0$ son $a,$ $b,$ y $c,$ y que las raíces de $x^3+rx^2+sx+t=0$ son $a+b,$ $b+c,$ y $c+a.$ Halla $t.$

Suppose that the roots of $x^3+3x^2+4x-11=0$ are $a,$ $b,$ and $c,$ and that the roots of $x^3+rx^2+sx+t=0$ are $a+b,$ $b+c,$ and $c+a.$ Find $t.$

Respuesta

Conceptos:Fórmulas de Vieta polinomio simetría (álgebra)

Nivel de dificultad: 1710

Pista pequeña:

Aplica las fórmulas de Vieta a la cúbica original

Use Vieta’s formulas on the original cubic

Pista grande:

Expande $(a+b)(b+c)(c+a)$ mediante sumas simétricas

Expand $(a+b)(b+c)(c+a)$ in symmetric sums

Solución:

Las fórmulas de Vieta dan $\begin{aligned}a+b+c&=-3,\\ab+bc+ca&=4,\\abc&=11.\end{aligned}$ Además, $\begin{gathered}(a+b)(b+c)(c+a)\\=(a+b+c)(ab+bc+ca)\\\quad-abc=-23.\end{gathered}$ Este es el producto de las raíces de la segunda cúbica mónica, por lo que su término constante es el opuesto de ese producto. Así, $t=23.$

Vieta’s formulas give $\begin{aligned}a+b+c&=-3,\\ab+bc+ca&=4,\\abc&=11.\end{aligned}$ Also, $\begin{gathered}(a+b)(b+c)(c+a)\\=(a+b+c)(ab+bc+ca)\\\quad-abc=-23.\end{gathered}$ This is the product of the roots of the second monic cubic, so its constant term is the negative of that product. Hence $t=23.$

6.

En un torneo de cinco equipos, cada equipo juega un partido contra todos los demás. Cada equipo tiene una probabilidad de $50\%$ de ganar cualquier partido que juegue. No hay empates. Sea $\frac{m}{n}$ la probabilidad de que el torneo no produzca ni un equipo invicto ni un equipo sin victorias, donde $m$ y $n$ son enteros positivos coprimos. Halla $m+n.$

In a five-team tournament, each team plays one game with every other team. Each team has a $50\%$ chance of winning any game it plays. There are no ties. Let $\frac{m}{n}$ be the probability that the tournament will produce neither an undefeated team nor a winless team, where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m+n.$

Respuesta

Conceptos:conteo complementario inclusión-exclusión teoría de grafos

Nivel de dificultad: 2170

Pista pequeña:

Hay $2^{\binom52}$ resultados igualmente probables del torneo

There are $2^{\binom52}$ equally likely tournament outcomes

Pista grande:

Usa inclusión-exclusión con los sucesos de que exista un equipo invicto o uno sin victorias

Use inclusion-exclusion on the events that an undefeated or a winless team exists

Solución:

Hay $2^{10}=1024$ resultados. Fijar un equipo invicto determina sus cuatro partidos y deja libres los otros seis, de modo que hay $5\cdot2^6=320$ resultados con un equipo invicto. La misma cuenta vale para un equipo sin victorias. Si dos equipos distintos fijados son, respectivamente, invicto y sin victorias, quedan determinados siete partidos y son libres los tres partidos entre los demás equipos. Por lo tanto, la intersección tiene $5\cdot4\cdot2^3=160$ resultados. Por inclusión-exclusión, la cantidad deseada es $1024-320-320+160=544.$ La probabilidad es $\frac{544}{1024}=\frac{17}{32},$ así que $m+n=49.$

There are $2^{10}=1024$ outcomes. A specified undefeated team forces its four games and leaves the other six arbitrary, so there are $5\cdot2^6=320$ outcomes with an undefeated team. The same count holds for a winless team. If distinct specified teams are undefeated and winless, seven games are forced and the three games among the other teams are arbitrary. Thus the intersection count is $5\cdot4\cdot2^3=160.$ By inclusion-exclusion, the desired count is $1024-320-320+160=544.$ The probability is $\frac{544}{1024}=\frac{17}{32},$ so $m+n=49.$

7.

Dos casillas de un tablero de $7\times7$ se pintan de amarillo y las demás de verde. Dos esquemas de color son equivalentes si uno puede obtenerse del otro mediante una rotación en el plano del tablero. ¿Cuántos esquemas de color no equivalentes hay?

Two of the squares of a $7\times7$ checkerboard are painted yellow, and the rest are painted green. Two color schemes are equivalent if one can be obtained from the other by applying a rotation in the plane of the board. How many inequivalent color schemes are possible?

Respuesta

Conceptos:Lema de Burnside combinaciones rotational symmetry

Nivel de dificultad: 2270

Pista pequeña:

Promedia las cantidades de coloraciones de dos casillas que fija cada una de las cuatro rotaciones

Average the numbers of two-square colorings fixed by the four rotations

Pista grande:

Solo un giro de media vuelta puede fijar un par no trivial de casillas

Only a half-turn can fix a nontrivial pair of squares

Solución:

Bajo la rotación identidad, todos los $\binom{49}{2}=1176$ pares quedan fijos. Un giro de un cuarto o de tres cuartos de vuelta solo tiene órbitas de tamaños $1$ y $4,$ así que no fija ningún conjunto de dos casillas. Una media vuelta fija exactamente los $24$ pares de casillas opuestas respecto del centro. Por el lema de Burnside se obtienen $\frac{1176+0+24+0}{4}=300$ coloraciones no equivalentes.

Under the identity rotation, all $\binom{49}{2}=1176$ pairs are fixed. A quarter-turn or three-quarter-turn has only orbits of sizes $1$ and $4,$ so it fixes no two-square set. A half-turn fixes exactly the $24$ pairs of squares opposite one another across the center. Burnside’s Lemma therefore gives $\frac{1176+0+24+0}{4}=300$ inequivalent colorings.

8.

La media armónica de dos números positivos es el recíproco de la media aritmética de sus recíprocos. ¿Para cuántos pares ordenados de enteros positivos $(x,y),$ con $x<y,$ la media armónica de $x$ y $y$ es igual a $6^{20}$ ?

The harmonic mean of two positive numbers is the reciprocal of the arithmetic mean of their reciprocals. For how many ordered pairs of positive integers $(x,y),$ with $x<y,$ is the harmonic mean of $x$ and $y$ equal to $6^{20}?$

Respuesta

Conceptos:media armónica conteo de factores factorización en primos

Nivel de dificultad: 2380

Pista pequeña:

Para $N=6^{20},$ convierte $\frac{2xy}{x+y}=N$ en un producto

For $N=6^{20},$ rearrange $\frac{2xy}{x+y}=N$ into a product

Pista grande:

Cuenta los pares de factores complementarios de $N^2$ en los que ambos factores son pares

Count complementary factor pairs of $N^2$ in which both factors are even

Solución:

Sea $N=6^{20}.$ Al reordenar la ecuación de la media armónica se obtiene $(2x-N)(2y-N)=N^2.$ Como $x<N<y$ y $N<2x,$ los dos factores son positivos y ambos deben ser pares. Recíprocamente, cada factorización $AB=N^2$ con $A<B$ y ambos factores pares da un par válido mediante $x=\frac{A+N}{2}$ y $y=\frac{B+N}{2}.$

Ahora $N^2=2^{40}3^{40}.$ Para que ambos factores complementarios sean pares, el exponente de $2$ en $A$ puede ser $1,\ldots,39,$ mientras que el exponente de $3$ puede ser $0,\ldots,40.$ Esto produce $39\cdot41=1599$ divisores $A,$ incluido el factor central $A=N.$ Al emparejar divisores complementarios y excluir el caso central se obtiene $\frac{1599-1}{2}=799.$

Let $N=6^{20}.$ Rearranging the harmonic-mean equation gives $(2x-N)(2y-N)=N^2.$ Because $x<N<y$ and $N<2x,$ the two factors are positive, and both must be even. Conversely, each factorization $AB=N^2$ with even $A<B$ gives one valid pair via $x=\frac{A+N}{2}$ and $y=\frac{B+N}{2}.$

Now $N^2=2^{40}3^{40}.$ For both complementary factors to be even, the exponent of $2$ in $A$ can be $1,\ldots,39,$ while the exponent of $3$ can be $0,\ldots,40.$ This gives $39\cdot41=1599$ divisors $A,$ including the central factor $A=N.$ Pairing complementary divisors and excluding that central case gives $\frac{1599-1}{2}=799.$

9.

Un estudiante aburrido recorre un pasillo que contiene una fila de casilleros cerrados, numerados del $1$ al $1024.$ Abre el casillero $1$ y, a partir de entonces, alterna entre saltarse y abrir cada casillero cerrado. Al llegar al final del pasillo, se da la vuelta y regresa. Abre el primer casillero cerrado que encuentra y luego vuelve a alternar entre saltarse y abrir cada casillero cerrado. Continúa recorriendo el pasillo de un lado a otro de esta manera hasta que todos los casilleros están abiertos. ¿Qué número tiene el último casillero que abre?

A bored student walks down a hall that contains a row of closed lockers, numbered $1$ to $1024.$ He opens locker $1,$ and then alternates between skipping and opening each closed locker thereafter. When he reaches the end of the hall, the student turns around and starts back. He opens the first closed locker he encounters, and then alternates between skipping and opening each closed locker thereafter. The student continues wandering back and forth in this manner until every locker is open. What is the number of the last locker he opens?

Respuesta

Conceptos:simulación de procesos reconocimiento de patrones sucesión aritmética

Nivel de dificultad: 2270

Pista pequeña:

Después de cada recorrido, los casilleros aún cerrados forman una progresión aritmética

After each trip, the still-closed lockers form an arithmetic sequence

Pista grande:

Anota solo el primer término, la diferencia común y el número de términos después de cada recorrido

Record only the first term, common difference, and number of terms after each trip

Solución:

En cada recorrido, el estudiante abre el primero, el tercero, el quinto, y así sucesivamente entre los casilleros restantes en la dirección en que avanza. Al seguir la progresión aritmética de casilleros cerrados después de cada recorrido se obtiene:

recorrido	primero	diferencia	cantidad
$1$	$2$	$2$	$512$
$2$	$2$	$4$	$256$
$3$	$6$	$8$	$128$
$4$	$6$	$16$	$64$
$5$	$22$	$32$	$32$
$6$	$22$	$64$	$16$
$7$	$86$	$128$	$8$
$8$	$86$	$256$	$4$
$9$	$342$	$512$	$2$

Por lo tanto, solo los casilleros $342$ y $854$ permanecen cerrados después del noveno recorrido. En el décimo, comenzando desde la derecha, se abre el casillero $854$ y queda el $342.$ En consecuencia, el último casillero abierto es el $342.$

On every trip the student opens the first, third, fifth, and so on among the remaining lockers in his direction of travel. Tracking the closed arithmetic sequence after each trip gives:

trip	first	difference	count
$1$	$2$	$2$	$512$
$2$	$2$	$4$	$256$
$3$	$6$	$8$	$128$
$4$	$6$	$16$	$64$
$5$	$22$	$32$	$32$
$6$	$22$	$64$	$16$
$7$	$86$	$128$	$8$
$8$	$86$	$256$	$4$
$9$	$342$	$512$	$2$

Thus only lockers $342$ and $854$ remain after the ninth trip. On the tenth trip, starting from the right, locker $854$ is opened and $342$ remains. Therefore the last locker opened is $342.$

10.

Halla la menor solución entera positiva de $\tan(19x^\circ)=\frac{\cos96^\circ+\sin96^\circ}{\cos96^\circ-\sin96^\circ}.$

Find the smallest positive integer solution to $\tan(19x^\circ)=\frac{\cos96^\circ+\sin96^\circ}{\cos96^\circ-\sin96^\circ}.$

Respuesta

Conceptos:identidad trigonométrica aritmética modular ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1900

Pista pequeña:

Reconoce el lado derecho mediante la fórmula de adición de la tangente

Recognize the right-hand side using the tangent addition formula

Pista grande:

Resuelve la congruencia resultante módulo $180$

Solve the resulting congruence modulo $180$

Solución:

La fórmula de adición de la tangente da $\begin{gathered}\frac{\cos96^\circ+\sin96^\circ}{\cos96^\circ-\sin96^\circ}\\=\tan(45^\circ+96^\circ)\\=\tan141^\circ.\end{gathered}$ Por lo tanto, $19x\equiv141\pmod {180}.$ Como $19^2=361\equiv1\pmod {180},$ al multiplicar por $19$ se obtiene $x\equiv19\cdot141\equiv159\pmod {180}.$ La menor solución positiva es $159.$

The tangent addition formula gives $\begin{gathered}\frac{\cos96^\circ+\sin96^\circ}{\cos96^\circ-\sin96^\circ}\\=\tan(45^\circ+96^\circ)\\=\tan141^\circ.\end{gathered}$ Hence $19x\equiv141\pmod {180}.$ Since $19^2=361\equiv1\pmod {180},$ multiplying by $19$ gives $x\equiv19\cdot141\equiv159\pmod {180}.$ The smallest positive solution is $159.$

11.

Sea $P$ el producto de las raíces de $z^6+z^4+z^3+z^2+1=0$ que tienen parte imaginaria positiva, y supón que $P=r(\cos\theta^\circ+i\sin\theta^\circ),$ donde $r>0$ y $0\leq\theta<360.$ Halla $\theta.$

Let $P$ be the product of the roots of $z^6+z^4+z^3+z^2+1=0$ that have positive imaginary part, and suppose that $P=r(\cos\theta^\circ+i\sin\theta^\circ),$ where $r>0$ and $0\leq\theta<360.$ Find $\theta.$

Respuesta

Conceptos:número complejo raíces de la unidad factorización

Nivel de dificultad: 2270

Pista pequeña:

Divide entre $z^3$ y define $w=z+z^{-1}$

Divide by $z^3$ and set $w=z+z^{-1}$

Pista grande:

Factoriza la cúbica resultante en $w$ e identifica cada valor como $2\cos\phi$

Factor the resulting cubic in $w$ and identify each value as $2\cos\phi$

Solución:

Ninguna raíz es cero. Al dividir entre $z^3$ y definir $w=z+z^{-1}$ se obtiene $\begin{aligned}w^3-2w+1&=0,\\{}(w-1)(w^2+w-1)&=0.\end{aligned}$ Sus tres raíces son $\begin{aligned}1&=2\cos60^\circ,\\\frac{\sqrt5-1}{2}&=2\cos72^\circ,\\-\frac{1+\sqrt5}{2}&=2\cos144^\circ.\end{aligned}$ Para cada valor $w=2\cos\phi,$ las raíces correspondientes de la ecuación original son $e^{i\phi}$ y $e^{-i\phi}.$ Por lo tanto, las raíces con parte imaginaria positiva tienen argumentos $60^\circ,$ $72^\circ,$ y $144^\circ.$ Su producto tiene argumento $60+72+144=276^\circ,$ así que $\theta=276.$

No root is zero. Dividing by $z^3$ and setting $w=z+z^{-1}$ gives $\begin{aligned}w^3-2w+1&=0,\\{}(w-1)(w^2+w-1)&=0.\end{aligned}$ Its three roots are $\begin{aligned}1&=2\cos60^\circ,\\\frac{\sqrt5-1}{2}&=2\cos72^\circ,\\-\frac{1+\sqrt5}{2}&=2\cos144^\circ.\end{aligned}$ For each value $w=2\cos\phi,$ the corresponding roots of the original equation are $e^{i\phi}$ and $e^{-i\phi}.$ Thus the roots with positive imaginary part have arguments $60^\circ,$ $72^\circ,$ and $144^\circ.$ Their product has argument $60+72+144=276^\circ,$ so $\theta=276.$

12.

Para cada permutación $a_1,$ $a_2,$ $a_3,$ $\ldots,$ $a_{10}$ de los enteros $1,$ $2,$ $3,$ $\ldots,$ $10,$ forma la suma $\begin{gathered}|a_1-a_2|+|a_3-a_4|\\+|a_5-a_6|+|a_7-a_8|\\+|a_9-a_{10}|.\end{gathered}$ El valor promedio de todas estas sumas puede escribirse como $\frac{p}{q},$ donde $p$ y $q$ son enteros positivos coprimos. Halla $p+q.$

For each permutation $a_1,$ $a_2,$ $a_3,$ $\ldots,$ $a_{10}$ of the integers $1,$ $2,$ $3,$ $\ldots,$ $10,$ form the sum $\begin{gathered}|a_1-a_2|+|a_3-a_4|\\+|a_5-a_6|+|a_7-a_8|\\+|a_9-a_{10}|.\end{gathered}$ The average value of all such sums can be written in the form $\frac{p}{q},$ where $p$ and $q$ are relatively prime positive integers. Find $p+q.$

Respuesta

Conceptos:valor esperado linearity of expectation conteo de pares

Nivel de dificultad: 1850

Pista pequeña:

Cada una de las cinco diferencias absolutas tiene el mismo promedio

Each of the five absolute differences has the same average

Pista grande:

Para un par no ordenado aleatorio, la diferencia $d$ aparece $10-d$ veces

For a random unordered pair, difference $d$ occurs $10-d$ times

Solución:

Cada diferencia emparejada tiene el mismo valor esperado que la diferencia de un par no ordenado elegido uniformemente de $1,\ldots,10.$ Por lo tanto, $\begin{aligned}\mathbb E|a_1-a_2|&=\frac{\sum_{d=1}^9d(10-d)}{\binom{10}{2}}\\&=\frac{10\sum_{d=1}^9d}{45}\\&\quad-\frac{\sum_{d=1}^9d^2}{45}\\&=\frac{450-285}{45}=\frac{11}{3}.\end{aligned}$ Por linealidad de la esperanza, el promedio de la suma de cinco términos es $\frac{5\cdot11}{3}=\frac{55}{3}.$ Así, $p+q=58.$

Each paired difference has the same expected value as the difference of a uniformly selected unordered pair from $1,\ldots,10.$ Therefore $\begin{aligned}\mathbb E|a_1-a_2|&=\frac{\sum_{d=1}^9d(10-d)}{\binom{10}{2}}\\&=\frac{10\sum_{d=1}^9d}{45}\\&\quad-\frac{\sum_{d=1}^9d^2}{45}\\&=\frac{450-285}{45}=\frac{11}{3}.\end{aligned}$ By linearity of expectation, the average of the five-term sum is $\frac{5\cdot11}{3}=\frac{55}{3}.$ Thus $p+q=58.$

13.

En el triángulo $ABC,$ $AB=\sqrt{30},$ $AC=\sqrt6,$ y $BC=\sqrt{15}.$ Hay un punto $D$ tal que $\overline{AD}$ biseca a $\overline{BC},$ y $\angle ADB$ es recto. La razón $\frac{\operatorname{Area}(\triangle ADB)}{\operatorname{Area}(\triangle ABC)}$ puede escribirse como $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos coprimos. Halla $m+n.$

In triangle $ABC,$ $AB=\sqrt{30},$ $AC=\sqrt6,$ and $BC=\sqrt{15}.$ There is a point $D$ for which $\overline{AD}$ bisects $\overline{BC},$ and $\angle ADB$ is a right angle. The ratio $\frac{\operatorname{Area}(\triangle ADB)}{\operatorname{Area}(\triangle ABC)}$ can be written in the form $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m+n.$

Respuesta

Conceptos:mediana (geometría)razón de áreas Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 2380

Pista pequeña:

Sea $E$ el punto medio de $\overline{BC},$ de modo que $A,$ $E,$ y $D$ son colineales

Let $E$ be the midpoint of $\overline{BC},$ so $A,$ $E,$ and $D$ are collinear

Pista grande:

Halla $AE$ con la fórmula de la mediana y compara dos triángulos rectángulos que comparten $BD$

Find $AE$ with the median formula, then compare two right triangles sharing $BD$

Solución:

Sea $E$ el punto medio de $\overline{BC}.$ Entonces $A,$ $E,$ y $D$ son colineales. La fórmula de la mediana da $\begin{aligned}AE^2&=\frac{2AB^2+2AC^2-BC^2}{4}\\&=\frac{57}{4}.\end{aligned}$ Como $AB^2>AE^2+BE^2,$ el ángulo $AEB$ es obtuso, así que el pie perpendicular $D$ está más allá de $E.$ Tanto $\triangle ABD$ como $\triangle EBD$ son rectángulos en $D.$ Por tanto, $\begin{gathered}AB^2-BE^2\\=(AE+DE)^2-DE^2\\=AE^2+2AE\cdot DE.\end{gathered}$ Al sustituir se obtiene $30-\frac{15}{4}=\frac{57}{4}+2AE\cdot DE,$ de donde $\frac{DE}{AE}=\frac{8}{19}.$

Los triángulos $ABE$ y $DBE$ tienen bases $AE$ y $DE$ sobre la misma recta y comparten la altura desde $B,$ mientras que $[ABC]=2[ABE].$ Por consiguiente, $\begin{aligned}\frac{[ADB]}{[ABC]}&=\frac{[ABE]+[DBE]}{2[ABE]}\\&=\frac12\left(1+\frac8{19}\right)\\&=\frac{27}{38}.\end{aligned}$ Así, $m+n=65.$

Let $E$ be the midpoint of $\overline{BC}.$ Then $A,$ $E,$ and $D$ are collinear. The median formula gives $\begin{aligned}AE^2&=\frac{2AB^2+2AC^2-BC^2}{4}\\&=\frac{57}{4}.\end{aligned}$ Since $AB^2>AE^2+BE^2,$ angle $AEB$ is obtuse, so the perpendicular foot $D$ lies beyond $E.$ Both $\triangle ABD$ and $\triangle EBD$ are right at $D.$ Therefore $\begin{gathered}AB^2-BE^2\\=(AE+DE)^2-DE^2\\=AE^2+2AE\cdot DE.\end{gathered}$ Substitution gives $30-\frac{15}{4}=\frac{57}{4}+2AE\cdot DE,$ so $\frac{DE}{AE}=\frac{8}{19}.$

Triangles $ABE$ and $DBE$ have bases $AE$ and $DE$ on the same line and share the altitude from $B,$ while $[ABC]=2[ABE].$ Hence $\begin{aligned}\frac{[ADB]}{[ABC]}&=\frac{[ABE]+[DBE]}{2[ABE]}\\&=\frac12\left(1+\frac8{19}\right)\\&=\frac{27}{38}.\end{aligned}$ Thus $m+n=65.$

14.

Un sólido rectangular de $150\times324\times375$ está formado al pegar cubos de $1\times1\times1.$ ¿Por el interior de cuántos cubos de $1\times1\times1$ pasa una diagonal interior de este sólido?

A $150\times324\times375$ rectangular solid is made by gluing together $1\times1\times1$ cubes. An internal diagonal of this solid passes through the interiors of how many of the $1\times1\times1$ cubes?

Respuesta

Conceptos:prisma rectangular inclusión-exclusión máximo común divisor

Nivel de dificultad: 2270

Pista pequeña:

Cuenta los cruces de la diagonal espacial con los planos coordenados de la cuadrícula

Count the coordinate-plane crossings of the space diagonal

Pista grande:

Corrige los cruces simultáneos de dos o tres planos de la cuadrícula mediante máximos divisores comunes

Correct for crossings of two or three grid planes at once using greatest common divisors

Solución:

En un arreglo de $a\times b\times c,$ la diagonal cruza $a-1,$ $b-1,$ y $c-1$ planos internos de la cuadrícula de las tres orientaciones. Los cruces de dos orientaciones coinciden $\gcd(a,b)-1,$ $\gcd(a,c)-1,$ y $\gcd(b,c)-1$ veces, y los cruces triples ocurren $\gcd(a,b,c)-1$ veces. Al añadir uno por el cubo inicial y aplicar inclusión-exclusión se obtiene $\begin{gathered}a+b+c-\gcd(a,b)\\-\gcd(a,c)-\gcd(b,c)\\+\gcd(a,b,c).\end{gathered}$ Los máximos divisores comunes por pares son $6,$ $75,$ y $3,$ y el máximo divisor común triple es $3.$ Por lo tanto, el número de interiores de cubos atravesados es $\begin{gathered}150+324+375\\-6-75-3+3=768.\end{gathered}$

For an $a\times b\times c$ array, the diagonal crosses $a-1,$ $b-1,$ and $c-1$ internal grid planes of the three orientations. Crossings of two orientations coincide $\gcd(a,b)-1,$ $\gcd(a,c)-1,$ and $\gcd(b,c)-1$ times, and triple crossings occur $\gcd(a,b,c)-1$ times. Adding one for the initial cube and applying inclusion-exclusion gives $\begin{gathered}a+b+c-\gcd(a,b)\\-\gcd(a,c)-\gcd(b,c)\\+\gcd(a,b,c).\end{gathered}$ Here the pairwise gcds are $6,$ $75,$ and $3,$ and the triple gcd is $3.$ Thus the number of cube interiors met is $\begin{gathered}150+324+375\\-6-75-3+3=768.\end{gathered}$

15.

En el paralelogramo $ABCD,$ sea $O$ la intersección de las diagonales $\overline{AC}$ y $\overline{BD}.$ Los ángulos $CAB$ y $DBC$ miden cada uno el doble que el ángulo $DBA,$ y el ángulo $ACB$ mide $r$ veces el ángulo $AOB.$ Halla el mayor entero que no excede a $1000r.$

In parallelogram $ABCD,$ let $O$ be the intersection of diagonals $\overline{AC}$ and $\overline{BD}.$ Angles $CAB$ and $DBC$ are each twice as large as angle $DBA,$ and angle $ACB$ is $r$ times as large as angle $AOB.$ Find the greatest integer that does not exceed $1000r.$

Respuesta

Conceptos:paralelogramo ley de los senos identidad trigonométrica

Nivel de dificultad: 2560

Pista pequeña:

Define $\angle DBA=\alpha$ y compara los triángulos $ABC$ y $ABD$

Set $\angle DBA=\alpha$ and compare triangles $ABC$ and $ABD$

Pista grande:

Usa la ley de los senos para obtener una ecuación con $\sin5\alpha,$ $\sin2\alpha,$ y $\sin\alpha$

Use the law of sines to obtain an equation involving $\sin5\alpha,$ $\sin2\alpha,$ and $\sin\alpha$

Solución:

Sea $\angle DBA=\alpha.$ Entonces $\angle DBC=\angle CAB=2\alpha,$ así que en $\triangle ABC$ los ángulos son $2\alpha,$ $3\alpha,$ y $180^\circ-5\alpha.$ Como $AD\parallel BC,$ el triángulo $ABD$ tiene ángulos $\alpha,$ $2\alpha,$ y $180^\circ-3\alpha.$

Al aplicar la ley de los senos en los dos triángulos y usar $AD=BC$ se obtiene $\frac{AB}{BC}=\frac{\sin5\alpha}{\sin2\alpha}=\frac{\sin2\alpha}{\sin\alpha}.$ Con $u=\cos^2\alpha,$ esto se convierte en $16u^2-16u+1=0.$ Como $5\alpha<180^\circ,$ la raíz válida es $u=\frac{2+\sqrt3}{4}=\cos^2 15^\circ,$ por lo que $\alpha=15^\circ.$ Así, $\angle ACB=105^\circ.$ En $\triangle AOB,$ los ángulos en $A$ y $B$ son $30^\circ$ y $15^\circ,$ de modo que $\angle AOB=135^\circ.$ Por tanto, $\begin{aligned}r&=\frac{105}{135}=\frac79,\\\left\lfloor1000r\right\rfloor&=777.\end{aligned}$

Let $\angle DBA=\alpha.$ Then $\angle DBC=\angle CAB=2\alpha,$ so in $\triangle ABC$ the angles are $2\alpha,$ $3\alpha,$ and $180^\circ-5\alpha.$ Because $AD\parallel BC,$ triangle $ABD$ has angles $\alpha,$ $2\alpha,$ and $180^\circ-3\alpha.$

Applying the law of sines in the two triangles and using $AD=BC$ gives $\frac{AB}{BC}=\frac{\sin5\alpha}{\sin2\alpha}=\frac{\sin2\alpha}{\sin\alpha}.$ With $u=\cos^2\alpha,$ this becomes $16u^2-16u+1=0.$ Since $5\alpha<180^\circ,$ the valid root is $u=\frac{2+\sqrt3}{4}=\cos^2 15^\circ,$ so $\alpha=15^\circ.$ Thus $\angle ACB=105^\circ.$ In $\triangle AOB,$ the angles at $A$ and $B$ are $30^\circ$ and $15^\circ,$ so $\angle AOB=135^\circ.$ Therefore $\begin{aligned}r&=\frac{105}{135}=\frac79,\\\left\lfloor1000r\right\rfloor&=777.\end{aligned}$