Question

Halla $A^2,$ donde $A$ es la suma de los valores absolutos de todas las raíces de la siguiente ecuación:

x=\sqrt{19}+\cfrac{91}{\sqrt{19}+\cfrac{91}{\sqrt{19}+\cfrac{91}{\sqrt{19}+\cfrac{91}{\sqrt{19}+\cfrac{91}{x}}}}}.

Find $A^2,$ where $A$ is the sum of the absolute values of all roots of the following equation:

x=\sqrt{19}+\cfrac{91}{\sqrt{19}+\cfrac{91}{\sqrt{19}+\cfrac{91}{\sqrt{19}+\cfrac{91}{\sqrt{19}+\cfrac{91}{x}}}}}.

Respuesta

Respuesta: 383

Conceptos:fracción continua función cuadrática

Nivel de dificultad: 2720

Pista pequeña:

Define $f(t)=\sqrt{19}+\frac{91}{t}$ ; la ecuación dice que al aplicar $f$ cinco veces se vuelve a obtener $x$

Define $f(t)=\sqrt{19}+\frac{91}{t}$ ; the equation says that $f$ applied five times returns $x$

Pista grande:

Usa los dos puntos fijos de $f$ y sigue la razón $\frac{f(t)-\alpha}{f(t)-\beta}$

Use the two fixed points of $f$ and track the ratio $\frac{f(t)-\alpha}{f(t)-\beta}$

Solución:

Sea $f(t)=\sqrt{19}+\frac{91}{t},$ y sean $\alpha>0>\beta$ sus puntos fijos. Estos satisfacen $t^2-\sqrt{19}\,t-91=0.$ Una resta directa usando $91=\alpha(\alpha-\sqrt{19})=\beta(\beta-\sqrt{19})$ da $\frac{f(t)-\alpha}{f(t)-\beta}=\frac{\beta}{\alpha}\,\frac{t-\alpha}{t-\beta}.$ La ecuación dada es $f^5(x)=x.$ Si $x$ no fuera ni $\alpha$ ni $\beta,$ iterar cinco veces la razón mostrada obligaría a que $(\frac{\beta}{\alpha})^5=1,$ lo cual es imposible porque $\frac{\beta}{\alpha}<0.$ Por lo tanto, las únicas raíces son $\alpha$ y $\beta.$

La suma de sus valores absolutos es $\alpha-\beta,$ la diferencia entre las raíces de la ecuación cuadrática. Por lo tanto, $A=\sqrt{(\sqrt{19})^2+4(91)}=\sqrt{383},$ así que $A^2=383.$

Let $f(t)=\sqrt{19}+\frac{91}{t},$ and let $\alpha>0>\beta$ be its fixed points. They satisfy $t^2-\sqrt{19}\,t-91=0.$ A direct subtraction using $91=\alpha(\alpha-\sqrt{19})=\beta(\beta-\sqrt{19})$ gives $\frac{f(t)-\alpha}{f(t)-\beta}=\frac{\beta}{\alpha}\,\frac{t-\alpha}{t-\beta}.$ The given equation is $f^5(x)=x.$ If $x$ were neither $\alpha$ nor $\beta,$ iterating the displayed ratio five times would force $(\frac{\beta}{\alpha})^5=1,$ which is impossible because $\frac{\beta}{\alpha}<0.$ Thus the only roots are $\alpha$ and $\beta.$

Their absolute values sum to $\alpha-\beta,$ the difference of the roots of the quadratic. Hence $A=\sqrt{(\sqrt{19})^2+4(91)}=\sqrt{383},$ so $A^2=383.$

1991 AIME Problema 7

Respuesta: 383

Nivel de dificultad: 2720

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 7 en otros años