Question

Veinticinco de los caballeros del rey Arturo están sentados en torno a su habitual mesa redonda. Se eligen tres de ellos, con todas las ternas igualmente probables, y se los envía a matar a un dragón que causaba problemas. Sea $P$ la probabilidad de que al menos dos de los tres ocuparan asientos contiguos. Si $P$ se escribe como una fracción irreducible, ¿cuál es la suma del numerador y el denominador?

Twenty-five of King Arthur’s knights are seated at their customary round table. Three of them are chosen, with all choices of three equally likely, and are sent off to slay a troublesome dragon. Let $P$ be the probability that at least two of the three had been sitting next to each other. If $P$ is written as a fraction in lowest terms, what is the sum of the numerator and denominator?

Respuesta

Respuesta: 57

Conceptos:combinaciones conteo complementario probabilidad complementaria

Nivel de dificultad: 2410

Pista pequeña:

Cuenta las selecciones complementarias en las que no hay dos caballeros elegidos adyacentes

Count the complementary selections in which no two chosen knights are adjacent

Pista grande:

Separa las selecciones que contienen a un caballero fijo de las que no lo contienen

Split into selections containing a fixed knight and selections not containing that knight

Solución:

Hay $\binom{25}{3}=2300$ selecciones. Fija un asiento. Si no se elige, seleccionar tres asientos no adyacentes entre los $24$ restantes equivale a elegir tres posiciones no consecutivas de una fila de $24,$ lo que da $\binom{22}{3}.$ Si se elige el asiento fijo, sus dos vecinos quedan prohibidos y los otros dos asientos elegidos deben ser no consecutivos entre la fila restante de $22,$ lo que da $\binom{21}{2}.$

Por tanto, el número de selecciones sin asientos elegidos adyacentes es $\begin{aligned} \binom{22}{3}+\binom{21}{2} &=1540+210\\ &=1750. \end{aligned}$ Así, $P=1-\frac{1750}{2300}=\frac{11}{46},$ y la suma pedida es $11+46=57.$

There are $\binom{25}{3}=2300$ selections. Fix one seat. If it is not selected, choosing three nonadjacent seats among the remaining $24$ seats is equivalent to choosing three nonconsecutive positions from a row of $24,$ giving $\binom{22}{3}.$ If the fixed seat is selected, its two neighbors are forbidden, and the other two selected seats must be nonconsecutive among the remaining row of $22,$ giving $\binom{21}{2}.$

Thus the number with no adjacent selected seats is $\begin{aligned} \binom{22}{3}+\binom{21}{2} &=1540+210\\ &=1750. \end{aligned}$ Therefore $P=1-\frac{1750}{2300}=\frac{11}{46},$ and the requested sum is $11+46=57.$

1983 AIME Problema 7

Respuesta: 57

Nivel de dificultad: 2410

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 7 en otros años