Question

En el triángulo $ABC,$ $\tan\angle CAB=\frac{22}{7},$ y la altura desde $A$ divide a $BC$ en segmentos de longitudes $3$ y $17.$ ¿Cuál es el área del triángulo $ABC$ ?

In triangle $ABC,$ $\tan\angle CAB=\frac{22}{7},$ and the altitude from $A$ divides $BC$ into segments of length $3$ and $17.$ What is the area of triangle $ABC?$

Respuesta

Respuesta: 110

Conceptos:área del triángulo trigonometría vector

Nivel de dificultad: 1870

Pista pequeña:

Sea $h$ la longitud de la altura y sitúa su pie en el origen

Let the altitude have length $h$ and place its foot at the origin

Pista grande:

Usa el producto vectorial dividido por el producto escalar para expresar la tangente del ángulo entre los vectores que siguen los dos lados

Use cross product over dot product to express the tangent of the angle between the two side vectors

Solución:

Sea la longitud de la altura $h.$ Desde $A,$ pueden tomarse como vectores hacia los extremos de $BC$ a $(-3,-h)$ y $(17,-h).$ Por tanto, $\tan\angle CAB=\frac{20h}{h^2-51}=\frac{22}{7}.$ Así, $11h^2-70h-561=0,$ cuya raíz positiva es $h=11.$ Como $BC=3+17=20,$ el área es $\frac12(20)(11)=110.$

Let the altitude length be $h.$ From $A,$ vectors to the endpoints of $BC$ may be taken as $(-3,-h)$ and $(17,-h).$ Therefore $\tan\angle CAB=\frac{20h}{h^2-51}=\frac{22}{7}.$ Thus $11h^2-70h-561=0,$ whose positive root is $h=11.$ Since $BC=3+17=20,$ the area is $\frac12(20)(11)=110.$

1988 AIME Problema 7

Respuesta: 110

Nivel de dificultad: 1870

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 7 en otros años