Question

Dado que $(1+\sin t)(1+\cos t)=\frac54$ y $\begin{aligned}(1-\sin t)&(1-\cos t)\\&=\frac mn-\sqrt k,\end{aligned}$ donde $k,$ $m,$ y $n$ son enteros positivos y $m$ y $n$ son coprimos, halla $k+m+n.$

Given that $(1+\sin t)(1+\cos t)=\frac54$ and $\begin{aligned}(1-\sin t)&(1-\cos t)\\&=\frac mn-\sqrt k,\end{aligned}$ where $k,$ $m,$ and $n$ are positive integers with $m$ and $n$ relatively prime, find $k+m+n.$

Respuesta

Respuesta: 27

Conceptos:identidad trigonométrica simetría (álgebra)radical

Nivel de dificultad: 1900

Pista pequeña:

Define $u=\sin t+\cos t$ y expresa $\sin t\cos t$ en términos de $u$

Set $u=\sin t+\cos t$ and express $\sin t\cos t$ in terms of $u$

Pista grande:

Los dos productos dados se convierten en la mitad de un cuadrado perfecto en $u$

Both given products become half of a perfect square in $u$

Solución:

Sea $u=\sin t+\cos t.$ Como $\sin t\cos t=\frac{u^2-1}{2},$ $\begin{aligned}(1+\sin t)&(1+\cos t)\\&=\frac{(u+1)^2}{2}=\frac54.\end{aligned}$ La elección de signo compatible da $u+1=\sqrt{\frac{5}{2}}.$ Por tanto, $\begin{aligned}(1-\sin t)&(1-\cos t)\\&=\frac{(1-u)^2}{2}\\&=\frac{13}{4}-\sqrt{10}.\end{aligned}$ Así, $k+m+n=10+13+4=27.$

Let $u=\sin t+\cos t.$ Since $\sin t\cos t=\frac{u^2-1}{2},$ $\begin{aligned}(1+\sin t)&(1+\cos t)\\&=\frac{(u+1)^2}{2}=\frac54.\end{aligned}$ The feasible sign gives $u+1=\sqrt{\frac{5}{2}}.$ Therefore $\begin{aligned}(1-\sin t)&(1-\cos t)\\&=\frac{(1-u)^2}{2}\\&=\frac{13}{4}-\sqrt{10}.\end{aligned}$ Thus $k+m+n=10+13+4=27.$

1995 AIME Problema 7

Respuesta: 27

Nivel de dificultad: 1900

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 7 en otros años