Question

Sea $n=2^{31}3^{19}.$ ¿Cuántos divisores enteros positivos de $n^2$ son menores que $n$ pero no dividen a $n$ ?

Let $n=2^{31}3^{19}.$ How many positive integer divisors of $n^2$ are less than $n$ but do not divide $n?$

Respuesta

Respuesta: 589

Conceptos:conteo de factores emparejamiento y agrupación factorización en primos

Nivel de dificultad: 2270

Pista pequeña:

Empareja cada divisor $d$ de $n^2$ con $\frac{n^2}{d}$

Pair each divisor $d$ of $n^2$ with $\frac{n^2}{d}$

Pista grande:

Entre los divisores menores que $n$ , resta los que ya dividen a $n$

Among the divisors below $n$ , subtract those that already divide $n$

Solución:

El número $n^2=2^{62}3^{38}$ tiene $63\cdot39=2457$ divisores. Emparejar $d$ con $\frac{n^2}{d}$ deja solo a $n$ sin pareja, así que $\frac{2457-1}{2}=1228$ divisores están por debajo de $n.$ El número $n$ tiene $32\cdot20=640$ divisores, de los cuales $639$ están por debajo de $n.$ Por lo tanto, la cantidad pedida es $1228-639=589.$

The number $n^2=2^{62}3^{38}$ has $63\cdot39=2457$ divisors. Pairing $d$ with $\frac{n^2}{d}$ leaves only $n$ unpaired, so $\frac{2457-1}{2}=1228$ divisors lie below $n.$ The number $n$ has $32\cdot20=640$ divisors, of which $639$ are below $n.$ Therefore the requested count is $1228-639=589.$

1995 AIME Problema 6

Respuesta: 589

Nivel de dificultad: 2270

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 6 en otros años