Question

En un torneo de cinco equipos, cada equipo juega un partido contra todos los demás. Cada equipo tiene una probabilidad de $50\%$ de ganar cualquier partido que juegue. No hay empates. Sea $\frac{m}{n}$ la probabilidad de que el torneo no produzca ni un equipo invicto ni un equipo sin victorias, donde $m$ y $n$ son enteros positivos coprimos. Halla $m+n.$

In a five-team tournament, each team plays one game with every other team. Each team has a $50\%$ chance of winning any game it plays. There are no ties. Let $\frac{m}{n}$ be the probability that the tournament will produce neither an undefeated team nor a winless team, where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m+n.$

Respuesta

Respuesta: 49

Conceptos:conteo complementario inclusión-exclusión teoría de grafos

Nivel de dificultad: 2170

Pista pequeña:

Hay $2^{\binom52}$ resultados igualmente probables del torneo

There are $2^{\binom52}$ equally likely tournament outcomes

Pista grande:

Usa inclusión-exclusión con los sucesos de que exista un equipo invicto o uno sin victorias

Use inclusion-exclusion on the events that an undefeated or a winless team exists

Solución:

Hay $2^{10}=1024$ resultados. Fijar un equipo invicto determina sus cuatro partidos y deja libres los otros seis, de modo que hay $5\cdot2^6=320$ resultados con un equipo invicto. La misma cuenta vale para un equipo sin victorias. Si dos equipos distintos fijados son, respectivamente, invicto y sin victorias, quedan determinados siete partidos y son libres los tres partidos entre los demás equipos. Por lo tanto, la intersección tiene $5\cdot4\cdot2^3=160$ resultados. Por inclusión-exclusión, la cantidad deseada es $1024-320-320+160=544.$ La probabilidad es $\frac{544}{1024}=\frac{17}{32},$ así que $m+n=49.$

There are $2^{10}=1024$ outcomes. A specified undefeated team forces its four games and leaves the other six arbitrary, so there are $5\cdot2^6=320$ outcomes with an undefeated team. The same count holds for a winless team. If distinct specified teams are undefeated and winless, seven games are forced and the three games among the other teams are arbitrary. Thus the intersection count is $5\cdot4\cdot2^3=160.$ By inclusion-exclusion, the desired count is $1024-320-320+160=544.$ The probability is $\frac{544}{1024}=\frac{17}{32},$ so $m+n=49.$

1996 AIME Problema 6

Respuesta: 49

Nivel de dificultad: 2170

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 6 en otros años