Question

Como se muestra, cinco segmentos dividen el rectángulo $ABCD$ en cuatro partes de igual área, donde $XY=YB+BC+CZ,$ $YB+BC+CZ=ZW,$ $ZW=WD+DA+AX,$ y $PQ\parallel AB.$ Halla $AB$ , en centímetros, si $BC=19$ cm y $PQ=87$ cm.

Rectangle $ABCD$ is divided into four parts of equal area by five segments as shown, where $XY=YB+BC+CZ,$ $YB+BC+CZ=ZW,$ $ZW=WD+DA+AX,$ and $PQ\parallel AB.$ Find $AB$ (in cm) if $BC=19$ cm and $PQ=87$ cm.

Respuesta

Respuesta: 193

Conceptos:rectángulo sistema de ecuaciones trapecio

Nivel de dificultad: 2270

Pista pequeña:

Llama $t$ a la longitud común de los bordes y $L$ al ancho del rectángulo

Call the common boundary length $t$ and the rectangle width $L$

Pista grande:

Las áreas iguales por encima y por debajo de $PQ$ sitúan a $PQ$ a media altura del rectángulo

Equal areas above and below $PQ$ place $PQ$ halfway up the rectangle

Solución:

Sea $AB=L$ y sean las cuatro longitudes iguales de los bordes $t.$ Al escribir $AX=x$ y $DW=w,$ la condición del borde izquierdo da $x+w=t-19.$ Al sustituir $XY=ZW=t$ en la condición derecha se obtiene $2L+38=4t,$ por lo que $t=\frac{L+19}{2}.$

Las regiones centrales superior e inferior son trapecios con las mismas bases $t$ y $87.$ Como sus áreas son iguales, $PQ$ está a media altura del rectángulo de $19$ cm. Por tanto, cada región central tiene área $\frac{19(t+87)}{4}.$ Esto es un cuarto del área del rectángulo, $\frac{19L}{4},$ así que $t+87=L.$ Al combinarlo con $t=\frac{L+19}{2}$ se obtiene $L=193.$

Put $AB=L$ and let the four equal boundary lengths be $t.$ Writing $AX=x$ and $DW=w,$ the left boundary condition gives $x+w=t-19.$ Substituting $XY=ZW=t$ into the right condition gives $2L+38=4t,$ so $t=\frac{L+19}{2}.$

The upper and lower central regions are trapezoids with the same bases $t$ and $87.$ Since their areas are equal, $PQ$ lies halfway up the $19$ -cm rectangle. Each central region therefore has area $\frac{19(t+87)}{4}.$ This is one quarter of the rectangle, $\frac{19L}{4},$ so $t+87=L.$ Combining with $t=\frac{L+19}{2}$ yields $L=193.$

1987 AIME Problema 6

Respuesta: 193

Nivel de dificultad: 2270

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 6 en otros años