Question

Dos patinadores, Allie y Billie, están en los puntos $A$ y $B,$ respectivamente, sobre un lago llano y congelado. La distancia entre $A$ y $B$ es de $100$ metros. Allie parte de $A$ y patina a $8$ metros por segundo en una línea recta que forma un ángulo de $60^\circ$ con $AB.$ Al mismo tiempo que Allie parte de $A,$ Billie parte de $B$ a $7$ metros por segundo y sigue la trayectoria recta que, dadas sus velocidades, permite que ambos se encuentren lo antes posible. ¿Cuántos metros patina Allie antes de encontrarse con Billie?

Two skaters, Allie and Billie, are at points $A$ and $B,$ respectively, on a flat, frozen lake. The distance between $A$ and $B$ is $100$ meters. Allie leaves $A$ and skates at a speed of $8$ meters per second on a straight line that makes a $60^\circ$ angle with $AB.$ At the same time Allie leaves $A,$ Billie leaves $B$ at a speed of $7$ meters per second and follows the straight path that produces the earliest possible meeting of the two skaters, given their speeds. How many meters does Allie skate before meeting Billie?

Respuesta

Respuesta: 160

Conceptos:distancia, velocidad y tiempo ley de los cosenos cuadrática

Nivel de dificultad: 2270

Pista pequeña:

Después de $t$ segundos, Allie está a $8t$ metros de $A$ y Billie puede estar a $7t$ metros de $B$

After $t$ seconds, Allie is $8t$ meters from $A$ and Billie can be $7t$ meters from $B$

Pista grande:

Aplica la ley de los cosenos al triángulo y elige el menor tiempo positivo

Apply the Law of Cosines to the triangle and select the smaller positive time

Solución:

Supón que los patinadores se encuentran después de $t$ segundos. Sus distancias desde $A$ y $B$ son $8t$ y $7t,$ y el ángulo comprendido en $A$ es $60^\circ.$ La ley de los cosenos da $\begin{aligned}(7t)^2&=(8t)^2+100^2\\&\quad-2(8t)(100)\cos60^\circ.\end{aligned}$ De aquí, $3t^2-160t+2000=0,$ cuyas raíces son $20$ y $\frac{100}{3}.$ El encuentro más temprano ocurre cuando $t=20,$ así que Allie patina $8(20)=160$ metros.

Suppose the skaters meet after $t$ seconds. Their distances from $A$ and $B$ are $8t$ and $7t,$ and the included angle at $A$ is $60^\circ.$ The Law of Cosines gives $\begin{aligned}(7t)^2&=(8t)^2+100^2\\&\quad-2(8t)(100)\cos60^\circ.\end{aligned}$ Hence $3t^2-160t+2000=0,$ whose roots are $20$ and $\frac{100}{3}.$ The earliest meeting occurs at $t=20,$ so Allie skates $8(20)=160$ meters.

1989 AIME Problema 6

Respuesta: 160

Nivel de dificultad: 2270

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 6 en otros años