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2001 AIME II Problema 6

A continuación está la solución preparada profesionalmente para el Problema 6 del 2001 AIME II, de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2001 AIME II, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

Conceptos:cuadrado (geometría)círculogeometría analíticacuadrática

Nivel de dificultad: 2390

6.

El cuadrado ABCDABCD está inscrito en una circunferencia. El cuadrado EFGHEFGH tiene los vértices EE y FF sobre CD‾\overline{CD} y los vértices GG y HH sobre la circunferencia. La razón entre el área del cuadrado EFGHEFGH y el área del cuadrado ABCDABCD se puede expresar como mn,\frac{m}{n}, donde mm y nn son enteros positivos primos entre sí y m<n.m \lt n. Halla 10n+m.10n + m.

Square ABCDABCD is inscribed in a circle. Square EFGHEFGH has vertices EE and FF on CD‾\overline{CD} and vertices GG and HH on the circle. The ratio of the area of square EFGHEFGH to the area of square ABCDABCD can be expressed as mn,\frac{m}{n}, where mm and nn are relatively prime positive integers and m<n.m \lt n. Find 10n+m.10n + m.

Solución:

Centra la circunferencia en el origen y sea ABCDABCD de lado s,s, de modo que la circunferencia es x2+y2=s22x^2 + y^2 = \frac{s^2}{2} y el lado CD‾\overline{CD} está sobre la recta y=s2.y = \frac{s}{2}. El cuadrado pequeño se apoya sobre CD‾,\overline{CD}, por fuera de ABCD:ABCD: si su lado es t,t, entonces por simetría G=(t2,s2+t),G = \left(\frac{t}{2}, \frac{s}{2} + t\right), que debe estar sobre la circunferencia.

Sustituyendo, t24+(s2+t)2=s22,\frac{t^2}{4} + \left(\frac{s}{2} + t\right)^2 = \frac{s^2}{2}, que se desarrolla como 5t2+4st−s2=0,5t^2 + 4st - s^2 = 0, o (5t−s)(t+s)=0.(5t - s)(t + s) = 0. Como t>0,t \gt 0, obtenemos t=s5.t = \frac{s}{5}.

La razón de áreas es t2s2=125,\frac{t^2}{s^2} = \frac{1}{25}, así que m=1,m = 1, n=25,n = 25, y 10n+m=251.10n + m = 251.

Center the circle at the origin and let ABCDABCD have side s,s, so the circle is x2+y2=s22x^2 + y^2 = \frac{s^2}{2} and side CD‾\overline{CD} lies on the line y=s2.y = \frac{s}{2}. The small square sits on CD‾,\overline{CD}, outside ABCD:ABCD: if its side is t,t, then by symmetry G=(t2,s2+t),G = \left(\frac{t}{2}, \frac{s}{2} + t\right), which must lie on the circle.

Substituting, t24+(s2+t)2=s22,\frac{t^2}{4} + \left(\frac{s}{2} + t\right)^2 = \frac{s^2}{2}, which expands to 5t2+4st−s2=0,5t^2 + 4st - s^2 = 0, or (5t−s)(t+s)=0.(5t - s)(t + s) = 0. Since t>0,t \gt 0, we get t=s5.t = \frac{s}{5}.

The ratio of areas is t2s2=125,\frac{t^2}{s^2} = \frac{1}{25}, so m=1,m = 1, n=25,n = 25, and 10n+m=251.10n + m = 251.

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