Question

Sea $P$ el producto de las raíces no reales de $x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x = 2005.$ Halle $\lfloor P\rfloor.$ (La notación $\lfloor P\rfloor$ denota el mayor entero que es menor o igual que $P.$ )

Let $P$ be the product of the nonreal roots of $x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x = 2005.$ Find $\lfloor P\rfloor.$ (The notation $\lfloor P\rfloor$ denotes the greatest integer that is less than or equal to $P.$ )

Respuesta

Solución:

Sumar $1$ a ambos lados convierte el lado izquierdo en una cuarta potencia perfecta: $\begin{aligned} &(x - 1)^4 = x^4 - 4x^3 + 6x^2 \\ &\quad {}- 4x + 1 = 2006. \end{aligned}$ Así que $x - 1$ es una raíz cuarta de $2006:$ las cuatro raíces son $x = 1 \pm \sqrt[4]{2006}$ (reales) y $x = 1 \pm i\sqrt[4]{2006}$ (no reales).

El producto del par conjugado de raíces no reales es $\begin{aligned} &\left(1 + i\sqrt[4]{2006}\right) \\ &\quad {}\cdot \left(1 - i\sqrt[4]{2006}\right) \\ &= 1 + \sqrt{2006}. \end{aligned}$ Como $44^2 = 1936$ $\lt 2006$ $\lt 2025 = 45^2,$ tenemos $45 \lt P \lt 46,$ así que $\lfloor P\rfloor = 45.$

Adding $1$ to both sides turns the left side into a perfect fourth power: $\begin{aligned} &(x - 1)^4 = x^4 - 4x^3 + 6x^2 \\ &\quad {}- 4x + 1 = 2006. \end{aligned}$ So $x - 1$ is a fourth root of $2006:$ the four roots are $x = 1 \pm \sqrt[4]{2006}$ (real) and $x = 1 \pm i\sqrt[4]{2006}$ (nonreal).

The product of the conjugate pair of nonreal roots is $\begin{aligned} &\left(1 + i\sqrt[4]{2006}\right) \\ &\quad {}\cdot \left(1 - i\sqrt[4]{2006}\right) \\ &= 1 + \sqrt{2006}. \end{aligned}$ Since $44^2 = 1936$ $\lt 2006$ $\lt 2025 = 45^2,$ we have $45 \lt P \lt 46,$ so $\lfloor P\rfloor = 45.$

2005 AIME I Problema 6

Solución:

El Problema 6 en otros años