2005 AIME I — Problemas y examen en línea cronometrado

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3:00:00

1.

Seis circunferencias congruentes forman un anillo, cada una tangente exteriormente a las dos circunferencias adyacentes. Las seis circunferencias son tangentes interiormente a una circunferencia $\mathcal{C}$ de radio $30.$ Sea $K$ el área de la región interior a $\mathcal{C}$ y exterior a las seis circunferencias del anillo. Halle $\lfloor K\rfloor.$ (La notación $\lfloor K\rfloor$ denota el mayor entero que es menor o igual que $K.$ )

Six congruent circles form a ring with each circle externally tangent to the two circles adjacent to it. All six circles are internally tangent to a circle $\mathcal{C}$ with radius $30.$ Let $K$ be the area of the region inside $\mathcal{C}$ and outside all of the six circles in the ring. Find $\lfloor K\rfloor.$ (The notation $\lfloor K\rfloor$ denotes the greatest integer that is less than or equal to $K.$ )

Respuesta

Respuesta: 942

Conceptos:circunferencias tangentes polígono regular área del círculo

Nivel de dificultad: 2010

Solución:

Sea $r$ el radio común de las seis circunferencias. Las circunferencias adyacentes son tangentes exteriormente, así que sus centros distan $2r,$ y los seis centros forman un hexágono regular de lado $2r.$ Como el circunradio de un hexágono regular es igual a su lado, cada centro está a distancia $2r$ del centro $O$ de $\mathcal{C}.$ La tangencia interior a $\mathcal{C}$ significa que la distancia de $O$ a cada centro pequeño más $r$ es igual a $30,$ así que $3r = 30$ y $r = 10.$

Por lo tanto $\begin{aligned} K &= \pi\left(30^2 - 6 \cdot 10^2\right) \\ &= 300\pi \approx 942.48, \end{aligned}$ y $\lfloor K\rfloor = 942.$

Let $r$ be the common radius of the six circles. Adjacent circles are externally tangent, so their centers are $2r$ apart, and the six centers form a regular hexagon with side $2r.$ Since a regular hexagon's circumradius equals its side length, each center is at distance $2r$ from the center $O$ of $\mathcal{C}.$ Internal tangency to $\mathcal{C}$ means the distance from $O$ to each small center plus $r$ equals $30,$ so $3r = 30$ and $r = 10.$

Therefore $\begin{aligned} K &= \pi\left(30^2 - 6 \cdot 10^2\right) \\ &= 300\pi \approx 942.48, \end{aligned}$ and $\lfloor K\rfloor = 942.$

2.

Para cada entero positivo $k,$ sea $S_k$ la sucesión aritmética creciente de enteros cuyo primer término es $1$ y cuya diferencia común es $k.$ Por ejemplo, $S_3$ es la sucesión $1, 4, 7, \ldots.$ ¿Para cuántos valores de $k$ la sucesión $S_k$ contiene el término $2005$ ?

For each positive integer $k,$ let $S_k$ denote the increasing arithmetic sequence of integers whose first term is $1$ and whose common difference is $k.$ For example, $S_3$ is the sequence $1, 4, 7, \ldots.$ For how many values of $k$ does $S_k$ contain the term $2005?$

Respuesta

Respuesta: 12

Conceptos:sucesión aritmética conteo de factores

Nivel de dificultad: 1840

Solución:

El $n$ -ésimo término de $S_k$ es $1 + (n-1)k,$ así que $2005$ es un término exactamente cuando $(n-1)k = 2004$ para algún entero positivo $n,$ es decir, exactamente cuando $k$ divide a $2004.$ Todo divisor funciona, ya que entonces $n - 1 = \frac{2004}{k}$ es un entero positivo.

Como $2004 = 2^2 \cdot 3 \cdot 167,$ el número de divisores es $(2+1)(1+1)(1+1) = 12.$

The $n$ th term of $S_k$ is $1 + (n-1)k,$ so $2005$ is a term exactly when $(n-1)k = 2004$ for some positive integer $n,$ that is, exactly when $k$ divides $2004.$ Every divisor works, since $n - 1 = \frac{2004}{k}$ is then a positive integer.

Since $2004 = 2^2 \cdot 3 \cdot 167,$ the number of divisors is $(2+1)(1+1)(1+1) = 12.$

3.

¿Cuántos enteros positivos tienen exactamente tres divisores propios, cada uno de ellos menor que $50$ ? (Un divisor propio de un entero positivo $n$ es un divisor entero positivo de $n$ distinto del propio $n$ .)

How many positive integers have exactly three proper divisors, each of which is less than $50?$ (A proper divisor of a positive integer $n$ is a positive integer divisor of $n$ other than $n$ itself.)

Respuesta

Respuesta: 109

Conceptos:conteo de factores primo combinaciones

Nivel de dificultad: 2070

Solución:

Un entero con exactamente tres divisores propios tiene exactamente cuatro divisores en total, así que es o bien $n = pq$ con $p$ y $q$ primos distintos (divisores propios $1, p, q$ ) o bien $n = p^3$ con $p$ primo (divisores propios $1, p, p^2$ ).

En el primer caso necesitamos que $p$ y $q$ sean ambos menores que $50.$ Hay $15$ primos por debajo de $50,$ lo que da $\binom{15}{2} = 105$ números de este tipo. En el segundo caso necesitamos $p^2 \lt 50,$ lo cual se cumple para $p = 2, 3, 5, 7,$ dando $4$ más.

El total es $105 + 4 = 109.$

An integer with exactly three proper divisors has exactly four divisors in total, so it is either $n = pq$ with $p$ and $q$ distinct primes (proper divisors $1, p, q$ ) or $n = p^3$ with $p$ prime (proper divisors $1, p, p^2$ ).

In the first case we need $p$ and $q$ both less than $50.$ There are $15$ primes below $50,$ giving $\binom{15}{2} = 105$ such numbers. In the second case we need $p^2 \lt 50,$ which holds for $p = 2, 3, 5, 7,$ giving $4$ more.

The total is $105 + 4 = 109.$

4.

El director de una banda de marcha desea colocar a los integrantes en una formación que los incluya a todos y no tenga posiciones vacías. Si se ordenan en una formación cuadrada, sobran $5$ integrantes. El director descubre que si se ordenan en una formación rectangular con $7$ filas más que columnas, se obtiene el resultado deseado. Halle el número máximo de integrantes que puede tener esta banda.

The director of a marching band wishes to place the members into a formation that includes all of them and has no unfilled positions. If they are arranged in a square formation, there are $5$ members left over. The director finds that if they are arranged in a rectangular formation with $7$ more rows than columns, the desired result can be obtained. Find the maximum number of members this band can have.

Respuesta

Respuesta: 294

Conceptos:Ecuación diofántica completar el cuadrado diferencia de cuadrados

Nivel de dificultad: 2230

Solución:

Supongamos que la banda tiene $n$ integrantes, con $n = s^2 + 5$ para la formación cuadrada y $n = x(x + 7)$ para la formación rectangular con $x$ columnas. Multiplicar $x^2 + 7x = s^2 + 5$ por $4$ y completar el cuadrado da $(2x + 7)^2 - (2s)^2 = 69,$ así que $(2x + 7 - 2s)$ $\cdot (2x + 7 + 2s) = 69.$

Escribiendo $69 = 1 \cdot 69 = 3 \cdot 23$ con el factor mayor en segundo lugar: de $1 \cdot 69$ obtenemos $2x + 7 = 35$ y $2s = 34,$ así que $x = 14,$ $s = 17,$ y $n = 17^2 + 5 = 294.$ De $3 \cdot 23$ obtenemos $2x + 7 = 13$ y $2s = 10,$ así que $x = 3,$ $s = 5,$ y $n = 30.$

El máximo es $294,$ alcanzado por un rectángulo de $21 \times 14.$

Let the band have $n$ members, with $n = s^2 + 5$ for the square formation and $n = x(x + 7)$ for the rectangular formation with $x$ columns. Multiplying $x^2 + 7x = s^2 + 5$ by $4$ and completing the square gives $(2x + 7)^2 - (2s)^2 = 69,$ so $(2x + 7 - 2s)$ $\cdot (2x + 7 + 2s) = 69.$

Writing $69 = 1 \cdot 69 = 3 \cdot 23$ with the larger factor second: from $1 \cdot 69$ we get $2x + 7 = 35$ and $2s = 34,$ so $x = 14,$ $s = 17,$ and $n = 17^2 + 5 = 294.$ From $3 \cdot 23$ we get $2x + 7 = 13$ and $2s = 10,$ so $x = 3,$ $s = 5,$ and $n = 30.$

The maximum is $294,$ achieved by a $21 \times 14$ rectangle.

5.

Robert tiene $4$ monedas de oro indistinguibles y $4$ monedas de plata indistinguibles. Cada moneda tiene grabada una cara en un lado, pero no en el otro. Quiere apilar las ocho monedas sobre una mesa en una sola pila de modo que no haya dos monedas adyacentes cara con cara. Halle el número de disposiciones distinguibles posibles de las $8$ monedas.

Robert has $4$ indistinguishable gold coins and $4$ indistinguishable silver coins. Each coin has an engraving of a face on one side, but not on the other. He wants to stack the eight coins on a table into a single stack so that no two adjacent coins are face to face. Find the number of possible distinguishable arrangements of the $8$ coins.

Respuesta

Respuesta: 630

Conceptos:arreglos con restricciones combinaciones principio de multiplicación

Nivel de dificultad: 2300

Solución:

Elija las orientaciones de las monedas y las posiciones de oro/plata de manera independiente. Registre las orientaciones de abajo hacia arriba como una cadena de U (cara grabada hacia arriba) y D (cara grabada hacia abajo). Dos monedas adyacentes están cara con cara exactamente cuando la cara grabada de la moneda inferior apunta hacia arriba y la de la moneda superior apunta hacia abajo, es decir, exactamente cuando a una U le sigue inmediatamente una D.

Una cadena de U y D evita el patrón UD exactamente cuando toda D precede a toda U, así que la cadena es $\text{D}^i\text{U}^{8-i}$ para algún $i = 0, 1, \ldots, 8:$ hay $9$ cadenas de orientación permitidas. De manera independiente, las monedas de oro ocupan $4$ de las $8$ posiciones de $\binom{8}{4} = 70$ maneras.

El total es $9 \cdot 70 = 630.$

Choose the coin orientations and the gold/silver positions independently. Record the orientations from bottom to top as a string of U (engraved face up) and D (engraved face down). Two adjacent coins are face to face exactly when the lower coin's engraved side faces up and the upper coin's engraved side faces down — that is, exactly when a U is immediately followed by a D.

A string of U's and D's avoids the pattern UD exactly when every D precedes every U, so the string is $\text{D}^i\text{U}^{8-i}$ for some $i = 0, 1, \ldots, 8:$ there are $9$ allowable orientation strings. Independently, the gold coins occupy $4$ of the $8$ positions in $\binom{8}{4} = 70$ ways.

The total is $9 \cdot 70 = 630.$

6.

Sea $P$ el producto de las raíces no reales de $x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x = 2005.$ Halle $\lfloor P\rfloor.$ (La notación $\lfloor P\rfloor$ denota el mayor entero que es menor o igual que $P.$ )

Let $P$ be the product of the nonreal roots of $x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x = 2005.$ Find $\lfloor P\rfloor.$ (The notation $\lfloor P\rfloor$ denotes the greatest integer that is less than or equal to $P.$ )

Respuesta

Respuesta: 45

Conceptos:polinomio teorema del binomio número complejo

Nivel de dificultad: 2290

Solución:

Sumar $1$ a ambos lados convierte el lado izquierdo en una cuarta potencia perfecta: $\begin{aligned} &(x - 1)^4 = x^4 - 4x^3 + 6x^2 \\ &\quad {}- 4x + 1 = 2006. \end{aligned}$ Así que $x - 1$ es una raíz cuarta de $2006:$ las cuatro raíces son $x = 1 \pm \sqrt[4]{2006}$ (reales) y $x = 1 \pm i\sqrt[4]{2006}$ (no reales).

El producto del par conjugado de raíces no reales es $\begin{aligned} &\left(1 + i\sqrt[4]{2006}\right) \\ &\quad {}\cdot \left(1 - i\sqrt[4]{2006}\right) \\ &= 1 + \sqrt{2006}. \end{aligned}$ Como $44^2 = 1936$ $\lt 2006$ $\lt 2025 = 45^2,$ tenemos $45 \lt P \lt 46,$ así que $\lfloor P\rfloor = 45.$

Adding $1$ to both sides turns the left side into a perfect fourth power: $\begin{aligned} &(x - 1)^4 = x^4 - 4x^3 + 6x^2 \\ &\quad {}- 4x + 1 = 2006. \end{aligned}$ So $x - 1$ is a fourth root of $2006:$ the four roots are $x = 1 \pm \sqrt[4]{2006}$ (real) and $x = 1 \pm i\sqrt[4]{2006}$ (nonreal).

The product of the conjugate pair of nonreal roots is $\begin{aligned} &\left(1 + i\sqrt[4]{2006}\right) \\ &\quad {}\cdot \left(1 - i\sqrt[4]{2006}\right) \\ &= 1 + \sqrt{2006}. \end{aligned}$ Since $44^2 = 1936$ $\lt 2006$ $\lt 2025 = 45^2,$ we have $45 \lt P \lt 46,$ so $\lfloor P\rfloor = 45.$

7.

En el cuadrilátero $ABCD,$ $BC = 8,$ $CD = 12,$ $AD = 10,$ y $m\angle A = m\angle B = 60^\circ.$ Dado que $AB = p + \sqrt{q},$ donde $p$ y $q$ son enteros positivos, halle $p + q.$

In quadrilateral $ABCD,$ $BC = 8,$ $CD = 12,$ $AD = 10,$ and $m\angle A = m\angle B = 60^\circ.$ Given that $AB = p + \sqrt{q},$ where $p$ and $q$ are positive integers, find $p + q.$

Respuesta

Respuesta: 150

Conceptos:ley de los cosenos triángulo equilátero

Nivel de dificultad: 2450

Solución:

Prolongue los rayos $AD$ y $BC$ hasta que se corten en $P.$ El triángulo $ABP$ tiene ángulos de $60^\circ$ en $A$ y $B,$ así que es equilátero: $PA = PB = AB.$ Escribiendo $x = AB,$ obtenemos $PD = PA - AD = x - 10$ y $PC = PB - BC = x - 8.$

La ley de cosenos en el triángulo $PDC,$ con $\angle P = 60^\circ$ y $DC = 12,$ da $\begin{aligned} 144 &= (x-10)^2 + (x-8)^2 \\ &\quad {}- (x-10)(x-8) \\ &= x^2 - 18x + 84, \end{aligned}$ así que $x^2 - 18x - 60 = 0$ y $x = 9 + \sqrt{81 + 60} = 9 + \sqrt{141}.$

Por lo tanto $p + q = 9 + 141 = 150.$

Extend rays $AD$ and $BC$ until they meet at $P.$ Triangle $ABP$ has $60^\circ$ angles at $A$ and $B,$ so it is equilateral: $PA = PB = AB.$ Writing $x = AB,$ we get $PD = PA - AD = x - 10$ and $PC = PB - BC = x - 8.$

The Law of Cosines in triangle $PDC,$ with $\angle P = 60^\circ$ and $DC = 12,$ gives $\begin{aligned} 144 &= (x-10)^2 + (x-8)^2 \\ &\quad {}- (x-10)(x-8) \\ &= x^2 - 18x + 84, \end{aligned}$ so $x^2 - 18x - 60 = 0$ and $x = 9 + \sqrt{81 + 60} = 9 + \sqrt{141}.$

Thus $p + q = 9 + 141 = 150.$

8.

La ecuación $2^{333x-2} + 2^{111x+2} = 2^{222x+1} + 1$ tiene tres raíces reales. Dado que su suma es $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí, halle $m + n.$

The equation $2^{333x-2} + 2^{111x+2} = 2^{222x+1} + 1$ has three real roots. Given that their sum is $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers, find $m + n.$

Respuesta

Respuesta: 113

Conceptos:exponente sustitución Fórmulas de Vieta logaritmo

Nivel de dificultad: 2500

Solución:

Sea $y = 2^{111x}.$ Entonces $2^{333x-2} = \frac{y^3}{4},$ $2^{111x+2} = 4y,$ y $2^{222x+1} = 2y^2,$ así que la ecuación se convierte en $\frac{y^3}{4} + 4y = 2y^2 + 1,$ es decir, $y^3 - 8y^2 + 16y - 4 = 0.$ Como las tres raíces $x_1, x_2, x_3$ son reales y $y = 2^{111x}$ es estrictamente creciente, corresponden a tres raíces reales positivas $y_1, y_2, y_3$ de la cúbica.

Cada $x_i = \frac{1}{111}\log_2 y_i,$ así que $\begin{aligned} x_1 + x_2 + x_3 &= \frac{1}{111}\log_2(y_1 y_2 y_3) \\ &= \frac{1}{111}\log_2 4 \\ &= \frac{2}{111}, \end{aligned}$ usando las fórmulas de Vieta para el producto de las raíces. Entonces $m + n = 2 + 111 = 113.$

Let $y = 2^{111x}.$ Then $2^{333x-2} = \frac{y^3}{4},$ $2^{111x+2} = 4y,$ and $2^{222x+1} = 2y^2,$ so the equation becomes $\frac{y^3}{4} + 4y = 2y^2 + 1,$ that is, $y^3 - 8y^2 + 16y - 4 = 0.$ Since the three roots $x_1, x_2, x_3$ are real and $y = 2^{111x}$ is strictly increasing, they correspond to three positive real roots $y_1, y_2, y_3$ of the cubic.

Each $x_i = \frac{1}{111}\log_2 y_i,$ so $\begin{aligned} x_1 + x_2 + x_3 &= \frac{1}{111}\log_2(y_1 y_2 y_3) \\ &= \frac{1}{111}\log_2 4 \\ &= \frac{2}{111}, \end{aligned}$ using Vieta's formulas for the product of the roots. Then $m + n = 2 + 111 = 113.$

9.

Veintisiete cubos unitarios se pintan cada uno de naranja en un conjunto de cuatro caras, de modo que las dos caras sin pintar comparten una arista. Luego los $27$ cubos se disponen al azar para formar un cubo $3 \times 3 \times 3.$ Dado que la probabilidad de que toda la superficie del cubo mayor sea naranja es $\frac{p^a}{q^b r^c},$ donde $p,$ $q,$ y $r$ son primos distintos y $a,$ $b,$ y $c$ son enteros positivos, halle $a + b + c + p + q + r.$

Twenty-seven unit cubes are each painted orange on a set of four faces so that the two unpainted faces share an edge. The $27$ cubes are then randomly arranged to form a $3 \times 3 \times 3$ cube. Given that the probability that the entire surface of the larger cube is orange is $\frac{p^a}{q^b r^c},$ where $p,$ $q,$ and $r$ are distinct primes and $a,$ $b,$ and $c$ are positive integers, find $a + b + c + p + q + r.$

Respuesta

Respuesta: 74

Conceptos:probabilidad básica eventos independientes geometría del cubo análisis por casos

Nivel de dificultad: 2920

Solución:

Cada cubo unitario tiene una “arista mala”: la arista compartida por sus dos caras sin pintar. La superficie del cubo mayor es enteramente naranja exactamente cuando la arista mala de cada cubo unitario no toca ninguna cara visible. Una orientación uniformemente al azar coloca la arista mala de manera uniforme entre las $12$ posiciones de arista del cubo, así que para cada cubo unitario contamos las posiciones de arista cuyas dos caras quedan ocultas.

Un cubo de esquina muestra $3$ caras que se encuentran en un vértice; las aristas seguras son las de las $3$ caras ocultas que se encuentran en el vértice opuesto, así que la probabilidad es $\frac{3}{12} = \frac{1}{4}.$ Un cubo de arista muestra $2$ caras adyacentes, que tocan $4 + 4 - 1 = 7$ aristas, dejando $5$ seguras: probabilidad $\frac{5}{12}.$ Un cubo de centro de cara muestra $1$ cara que toca $4$ aristas, dejando $8$ seguras: probabilidad $\frac{8}{12} = \frac{2}{3}.$ El cubo central siempre cumple.

Con $8$ cubos de esquina, $12$ de arista y $6$ de centro de cara, la probabilidad es $\begin{aligned} &\left(\frac{1}{4}\right)^{8}\left(\frac{5}{12}\right)^{12}\left(\frac{2}{3}\right)^{6} \\ &= \frac{5^{12}}{2^{34} \cdot 3^{18}}, \end{aligned}$ así que $a + b + c + p + q + r$ $= 12 + 34 + 18$ $+ 5 + 2 + 3$ $= 74.$

Each unit cube has one "bad edge": the edge shared by its two unpainted faces. The larger cube's surface is entirely orange exactly when every unit cube's bad edge touches no visible face. A uniformly random orientation places the bad edge uniformly among the cube's $12$ edge positions, so for each unit cube we count the edge positions both of whose faces are hidden.

A corner cube shows $3$ faces meeting at a vertex; the safe edges are those of the $3$ hidden faces meeting at the opposite vertex, so the probability is $\frac{3}{12} = \frac{1}{4}.$ An edge cube shows $2$ adjacent faces, which touch $4 + 4 - 1 = 7$ edges, leaving $5$ safe: probability $\frac{5}{12}.$ A face-center cube shows $1$ face touching $4$ edges, leaving $8$ safe: probability $\frac{8}{12} = \frac{2}{3}.$ The center cube is always fine.

With $8$ corner, $12$ edge, and $6$ face-center cubes, the probability is $\begin{aligned} &\left(\frac{1}{4}\right)^{8}\left(\frac{5}{12}\right)^{12}\left(\frac{2}{3}\right)^{6} \\ &= \frac{5^{12}}{2^{34} \cdot 3^{18}}, \end{aligned}$ so $a + b + c + p + q + r$ $= 12 + 34 + 18$ $+ 5 + 2 + 3$ $= 74.$

10.

El triángulo $ABC$ está en el plano cartesiano y tiene área $70.$ Las coordenadas de $B$ y $C$ son $(12, 19)$ y $(23, 20),$ respectivamente, y las coordenadas de $A$ son $(p, q).$ La recta que contiene la mediana al lado $\overline{BC}$ tiene pendiente $-5.$ Halle el mayor valor posible de $p + q.$

Triangle $ABC$ lies in the Cartesian plane and has area $70.$ The coordinates of $B$ and $C$ are $(12, 19)$ and $(23, 20),$ respectively, and the coordinates of $A$ are $(p, q).$ The line containing the median to side $\overline{BC}$ has slope $-5.$ Find the largest possible value of $p + q.$

Respuesta

Respuesta: 47

Conceptos:geometría analítica fórmula del cordón mediana (geometría)

Nivel de dificultad: 2560

Solución:

La mediana a $\overline{BC}$ pasa por el punto medio $M = \left(\frac{35}{2}, \frac{39}{2}\right)$ de $\overline{BC}.$ La recta que pasa por $M$ con pendiente $-5$ es $y = -5x + 107,$ y $A$ está en esta recta, así que $A = (p, -5p + 107)$ y $q = -5p + 107.$

Por la fórmula del cordón con $B = (12, 19)$ y $C = (23, 20),$ $\begin{aligned} [ABC] &= \small \frac{1}{2}\left|{-p} + 12\bigl(20 - q\bigr) + 23\bigl(q - 19\bigr)\right| \\ &= \frac{1}{2}\left|980 - 56p\right| = 70, \end{aligned}$ así que $|56p - 980| = 140,$ lo que da $p = 15$ o $p = 20.$

Como $p + q = p + (-5p + 107)$ $= 107 - 4p,$ el menor valor $p = 15$ da la mayor suma $107 - 60 = 47.$

The median to $\overline{BC}$ passes through the midpoint $M = \left(\frac{35}{2}, \frac{39}{2}\right)$ of $\overline{BC}.$ The line through $M$ with slope $-5$ is $y = -5x + 107,$ and $A$ lies on this line, so $A = (p, -5p + 107)$ and $q = -5p + 107.$

By the shoelace formula with $B = (12, 19)$ and $C = (23, 20),$ $\begin{aligned} [ABC] &= \small \frac{1}{2}\left|{-p} + 12\bigl(20 - q\bigr) + 23\bigl(q - 19\bigr)\right| \\ &= \frac{1}{2}\left|980 - 56p\right| = 70, \end{aligned}$ so $|56p - 980| = 140,$ giving $p = 15$ or $p = 20.$

Since $p + q = p + (-5p + 107)$ $= 107 - 4p,$ the smaller value $p = 15$ gives the larger sum $107 - 60 = 47.$

11.

Un semicírculo de diámetro $d$ está contenido en un cuadrado cuyos lados tienen longitud $8.$ Dado que el valor máximo de $d$ es $m - \sqrt{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros, halle $m + n.$

A semicircle with diameter $d$ is contained in a square whose sides have length $8.$ Given that the maximum value of $d$ is $m - \sqrt{n},$ where $m$ and $n$ are integers, find $m + n.$

Respuesta

Respuesta: 544

Conceptos:optimización trigonometría recta tangente

Nivel de dificultad: 2990

Solución:

Escale a un semicírculo de radio $1$ y busque el menor cuadrado que lo contiene cuando su diámetro forma un ángulo $\theta$ con un par de lados, donde $0 \le \theta \le 90^\circ.$ Encierre el semicírculo entre dos pares de rectas paralelas en las dos direcciones de los lados del cuadrado: en cada dirección una recta del par es tangente al arco y la otra pasa por un extremo del diámetro, y las distancias entre los pares son $1 + \cos\theta$ y $1 + \sin\theta.$ Así que el menor cuadrado que lo encierra en esa orientación tiene lado $\max\{1 + \cos\theta,\ 1 + \sin\theta\},$ que se minimiza cuando $\theta = 45^\circ,$ dando lado $1 + \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2 + \sqrt{2}}{2}.$

Escalando esta configuración óptima para que el cuadrado tenga lado $8,$ el radio pasa a ser $r = \frac{8}{(2 + \sqrt{2})/2}$ $= \frac{16}{2 + \sqrt{2}}$ $= 8\left(2 - \sqrt{2}\right),$ así que $\begin{aligned} d &= 2r = 16\left(2 - \sqrt{2}\right) \\ &= 32 - 16\sqrt{2} = 32 - \sqrt{512}. \end{aligned}$

Por lo tanto $m + n = 32 + 512 = 544.$

Scale to a semicircle of radius $1$ and ask for the smallest square containing it when its diameter makes angle $\theta$ with one pair of sides, where $0 \le \theta \le 90^\circ.$ Squeeze the semicircle between two pairs of parallel lines in the square's two side directions: in each direction one line of the pair is tangent to the arc and the other passes through an endpoint of the diameter, and the distances between the pairs are $1 + \cos\theta$ and $1 + \sin\theta.$ So the smallest enclosing square in that orientation has side $\max\{1 + \cos\theta,\ 1 + \sin\theta\},$ which is minimized when $\theta = 45^\circ,$ giving side $1 + \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2 + \sqrt{2}}{2}.$

Scaling this optimal configuration so the square has side $8,$ the radius becomes $r = \frac{8}{(2 + \sqrt{2})/2}$ $= \frac{16}{2 + \sqrt{2}}$ $= 8\left(2 - \sqrt{2}\right),$ so $\begin{aligned} d &= 2r = 16\left(2 - \sqrt{2}\right) \\ &= 32 - 16\sqrt{2} = 32 - \sqrt{512}. \end{aligned}$

Thus $m + n = 32 + 512 = 544.$

12.

Para enteros positivos $n,$ sea $\tau(n)$ el número de divisores enteros positivos de $n,$ incluyendo $1$ y $n.$ Por ejemplo, $\tau(1) = 1$ y $\tau(6) = 4.$ Defina $S(n)$ por $S(n) = \tau(1) + \tau(2) + \cdots + \tau(n).$ Sea $a$ el número de enteros positivos $n \le 2005$ con $S(n)$ impar, y sea $b$ el número de enteros positivos $n \le 2005$ con $S(n)$ par. Halle $|a - b|.$

For positive integers $n,$ let $\tau(n)$ denote the number of positive integer divisors of $n,$ including $1$ and $n.$ For example, $\tau(1) = 1$ and $\tau(6) = 4.$ Define $S(n)$ by $S(n) = \tau(1) + \tau(2) + \cdots + \tau(n).$ Let $a$ denote the number of positive integers $n \le 2005$ with $S(n)$ odd, and let $b$ denote the number of positive integers $n \le 2005$ with $S(n)$ even. Find $|a - b|.$

Respuesta

Respuesta: 25

Conceptos:paridad cuadrado perfecto conteo de factores

Nivel de dificultad: 2760

Solución:

Los divisores de $n$ se emparejan como $d$ y $\frac{n}{d},$ así que $\tau(n)$ es impar exactamente cuando $n$ es un cuadrado perfecto. Por tanto $S(n)$ cambia de paridad exactamente en los cuadrados, lo que significa que $S(n)$ es impar exactamente cuando el número de cuadrados hasta $n,$ a saber $\lfloor\sqrt{n}\rfloor,$ es impar.

Para cada $k,$ hay $2k + 1$ enteros $n$ con $\lfloor\sqrt{n}\rfloor = k,$ a saber $k^2 \le n \le k^2 + 2k.$ Como $44^2 = 1936$ $\le 2005$ $\lt 2025 = 45^2,$ los valores impares $k = 1, 3, \ldots, 43$ tienen todos sus bloques completos dentro del rango, así que $\begin{aligned} a &= \sum_{k \text{ odd},\, k \le 43} (2k + 1) \\ &= 2(1 + 3 + \cdots + 43) + 22 \\ &= 2 \cdot 484 + 22 \\ &= 990. \end{aligned}$

Entonces $b = 2005 - 990 = 1015,$ y $|a - b| = 25.$

Divisors of $n$ pair up as $d$ and $\frac{n}{d},$ so $\tau(n)$ is odd exactly when $n$ is a perfect square. Hence $S(n)$ changes parity exactly at the squares, which means $S(n)$ is odd exactly when the number of squares up to $n,$ namely $\lfloor\sqrt{n}\rfloor,$ is odd.

For each $k,$ there are $2k + 1$ integers $n$ with $\lfloor\sqrt{n}\rfloor = k,$ namely $k^2 \le n \le k^2 + 2k.$ Since $44^2 = 1936$ $\le 2005$ $\lt 2025 = 45^2,$ the odd values $k = 1, 3, \ldots, 43$ all have their full blocks within range, so $\begin{aligned} a &= \sum_{k \text{ odd},\, k \le 43} (2k + 1) \\ &= 2(1 + 3 + \cdots + 43) + 22 \\ &= 2 \cdot 484 + 22 \\ &= 990. \end{aligned}$

Then $b = 2005 - 990 = 1015,$ and $|a - b| = 25.$

13.

Una partícula se mueve en el plano cartesiano de un punto reticular a otro según las siguientes reglas:

• Desde cualquier punto reticular $(a, b),$ la partícula solo puede moverse a $(a+1, b),$ $(a, b+1),$ o $(a+1, b+1).$

• No hay giros en ángulo recto en la trayectoria de la partícula. Es decir, la sucesión de puntos visitados no contiene ni una subsucesión de la forma $(a, b),$ $(a+1, b),$ $(a+1, b+1)$ ni una subsucesión de la forma $(a, b),$ $(a, b+1),$ $(a+1, b+1).$

¿Cuántas trayectorias diferentes puede tomar la partícula desde $(0, 0)$ hasta $(5, 5)$ ?

A particle moves in the Cartesian plane from one lattice point to another according to the following rules:

• From any lattice point $(a, b),$ the particle may move only to $(a+1, b),$ $(a, b+1),$ or $(a+1, b+1).$

• There are no right angle turns in the particle's path. That is, the sequence of points visited contains neither a subsequence of the form $(a, b),$ $(a+1, b),$ $(a+1, b+1)$ nor a subsequence of the form $(a, b),$ $(a, b+1),$ $(a+1, b+1).$

How many different paths can the particle take from $(0, 0)$ to $(5, 5)?$

Respuesta

Respuesta: 83

Conceptos:caminos reticulares conteo recursivo

Nivel de dificultad: 3060

Solución:

Los giros en ángulo recto prohibidos dicen exactamente que un paso hacia la derecha nunca puede seguir inmediatamente a un paso hacia arriba, y viceversa; un paso diagonal puede seguir o preceder a cualquier cosa. Así que en cada punto reticular $(x, y)$ lleve tres conteos $D(x,y),$ $R(x,y),$ $U(x,y):$ los números de trayectorias válidas desde $(0,0)$ que llegan ahí por un paso diagonal, hacia la derecha o hacia arriba. Las reglas dan $\begin{aligned} &D(x,y) = D + R \\ &\quad {}+ U \text{ at } (x-1, y-1), \\ &R(x,y) = D(x-1,y) \\ &\quad {}+ R(x-1,y), \\ &U(x,y) = D(x,y-1) \\ &\quad {}+ U(x,y-1). \end{aligned}$

Partiendo de la única trayectoria vacía en $(0,0)$ (que puede comenzar con cualquier paso), complete la cuadrícula hasta $(5,5).$ A lo largo de los ejes solo sobreviven las trayectorias todas hacia la derecha o todas hacia arriba, y el interior se acumula rápidamente; en $(5, 5)$ los tres conteos resultan $27,$ $28,$ y $28.$

El número total de trayectorias es $27 + 28 + 28 = 83.$

The forbidden right-angle turns say exactly that a rightward step may never immediately follow an upward step, and vice versa; a diagonal step may follow or precede anything. So at each lattice point $(x, y)$ track three counts $D(x,y),$ $R(x,y),$ $U(x,y):$ the numbers of legal paths from $(0,0)$ arriving there by a diagonal, rightward, or upward step. The rules give $\begin{aligned} &D(x,y) = D + R \\ &\quad {}+ U \text{ at } (x-1, y-1), \\ &R(x,y) = D(x-1,y) \\ &\quad {}+ R(x-1,y), \\ &U(x,y) = D(x,y-1) \\ &\quad {}+ U(x,y-1). \end{aligned}$

Starting from the single empty path at $(0,0)$ (which may begin with any step), fill in the grid up to $(5,5).$ Along the axes only all-rightward or all-upward paths survive, and the interior builds up quickly; at $(5, 5)$ the three counts come out to $27,$ $28,$ and $28.$

The total number of paths is $27 + 28 + 28 = 83.$

14.

Considere los puntos $A(0, 12),$ $B(10, 9),$ $C(8, 0),$ y $D(-4, 7).$ Existe un único cuadrado $\mathcal{S}$ tal que cada uno de los cuatro puntos está en un lado diferente de $\mathcal{S}.$ Sea $K$ el área de $\mathcal{S}.$ Halle el resto cuando $10K$ se divide entre $1000.$

Consider the points $A(0, 12),$ $B(10, 9),$ $C(8, 0),$ and $D(-4, 7).$ There is a unique square $\mathcal{S}$ such that each of the four points is on a different side of $\mathcal{S}.$ Let $K$ be the area of $\mathcal{S}.$ Find the remainder when $10K$ is divided by $1000.$

Respuesta

Respuesta: 936

Conceptos:geometría analítica cuadrado (geometría)pendiente fórmula de la distancia

Nivel de dificultad: 3160

Solución:

Como los segmentos $\overline{AC}$ y $\overline{BD}$ se cruzan, $A$ y $C$ están en lados opuestos del cuadrado, al igual que $B$ y $D.$ Sea $m$ la pendiente del lado que pasa por $B,$ de modo que ese lado está sobre $mx - y + 9 - 10m = 0,$ y el lado perpendicular que pasa por $C$ está sobre $x + my - 8 = 0.$ La longitud del lado del cuadrado es igual tanto a la distancia entre los lados paralelos que pasan por $B$ y $D$ como a la distancia entre los lados que pasan por $A$ y $C:$ $\begin{aligned} &\frac{|{-4m} - 7 + 9 - 10m|}{\sqrt{m^2 + 1}} \\ &= \frac{|12m - 8|}{\sqrt{m^2 + 1}}, \end{aligned}$ así que $|2 - 14m| = |12m - 8|,$ lo que da $m = \frac{5}{13}$ o $m = -3.$

Para $m = \frac{5}{13},$ los puntos $A$ y $C$ caen en lados opuestos de la recta que pasa por $B,$ lo cual es imposible si esa recta contiene un lado del cuadrado, así que $m = -3.$ Entonces la longitud del lado es $\frac{|12(-3) - 8|}{\sqrt{9 + 1}} = \frac{44}{\sqrt{10}},$ así que $K = \frac{44^2}{10} = \frac{1936}{10}$ y $10K = 1936.$

El resto cuando $1936$ se divide entre $1000$ es $936.$

Since segments $\overline{AC}$ and $\overline{BD}$ cross, $A$ and $C$ lie on opposite sides of the square, as do $B$ and $D.$ Let $m$ be the slope of the side through $B,$ so that side lies on $mx - y + 9 - 10m = 0,$ and the perpendicular side through $C$ lies on $x + my - 8 = 0.$ The side length of the square equals both the distance between the parallel sides through $B$ and $D$ and the distance between the sides through $A$ and $C:$ $\begin{aligned} &\frac{|{-4m} - 7 + 9 - 10m|}{\sqrt{m^2 + 1}} \\ &= \frac{|12m - 8|}{\sqrt{m^2 + 1}}, \end{aligned}$ so $|2 - 14m| = |12m - 8|,$ giving $m = \frac{5}{13}$ or $m = -3.$

For $m = \frac{5}{13},$ the points $A$ and $C$ fall on opposite sides of the line through $B,$ which is impossible if that line contains a side of the square, so $m = -3.$ Then the side length is $\frac{|12(-3) - 8|}{\sqrt{9 + 1}} = \frac{44}{\sqrt{10}},$ so $K = \frac{44^2}{10} = \frac{1936}{10}$ and $10K = 1936.$

The remainder when $1936$ is divided by $1000$ is $936.$

15.

En $\triangle ABC,$ $AB = 20.$ El incírculo del triángulo divide la mediana que contiene a $C$ en tres segmentos de igual longitud. Dado que el área de $\triangle ABC$ es $m\sqrt{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros y $n$ no es divisible por el cuadrado de ningún primo, halle $m + n.$

In $\triangle ABC,$ $AB = 20.$ The incircle of the triangle divides the median containing $C$ into three segments of equal length. Given that the area of $\triangle ABC$ is $m\sqrt{n},$ where $m$ and $n$ are integers and $n$ is not divisible by the square of any prime, find $m + n.$

Respuesta

Respuesta: 38

Conceptos:potencia de un punto circunferencia inscrita, incentro e inradio mediana (geometría)Fórmula de Herón

Nivel de dificultad: 3270

Solución:

Sea $M$ el punto medio de $\overline{AB},$ y sea que el incírculo corta la mediana $\overline{CM}$ en $S$ y $N,$ con $CS = SN = NM = \frac{1}{3}CM.$ Sea que el incírculo toca $\overline{AB}$ en $T$ y $\overline{AC}$ en $R.$ Por la potencia de un punto, $\begin{aligned} MT^2 &= MN \cdot MS \\ &= \frac{CM}{3} \cdot \frac{2\,CM}{3} \\ &= \frac{2}{9}CM^2, \\ CR^2 &= CS \cdot CN \\ &= \frac{2}{9}CM^2, \end{aligned}$ así que $MT = CR.$ Como $AR = AT$ (tangentes desde $A$ ), obtenemos $AC = AR + RC$ $= AT + TM$ $= AM = 10.$

Escriba $a = BC$ y $s = \frac{20 + a + 10}{2} = 15 + \frac{a}{2}.$ La longitud de tangente estándar da $AT = s - a,$ así que $MT = AM - AT$ $= 10 - \left(15 - \frac{a}{2}\right)$ $= \frac{a - 10}{2},$ mientras que la fórmula de la longitud de la mediana da $CM^2 = \frac{2 \cdot 10^2 + 2a^2 - 20^2}{4} = \frac{a^2 - 100}{2}.$ Sustituyendo en $MT^2 = \frac{2}{9}CM^2:$ $\begin{aligned} \frac{(a - 10)^2}{4} &= \frac{a^2 - 100}{9} \\ &\quad\Longrightarrow\quad 9(a - 10) \\ &= 4(a + 10) \\ &\quad\Longrightarrow\quad a = 26. \end{aligned}$

Entonces los lados son $20,$ $26,$ $10$ con $s = 28,$ y la fórmula de Herón da $\begin{aligned} [ABC] &= \sqrt{28 \cdot 8 \cdot 2 \cdot 18} \\ &= \sqrt{8064} = 24\sqrt{14}, \end{aligned}$ así que $m + n = 24 + 14 = 38.$

Let $M$ be the midpoint of $\overline{AB},$ and let the incircle cut median $\overline{CM}$ at $S$ and $N,$ with $CS = SN = NM = \frac{1}{3}CM.$ Let the incircle touch $\overline{AB}$ at $T$ and $\overline{AC}$ at $R.$ By Power of a Point, $\begin{aligned} MT^2 &= MN \cdot MS \\ &= \frac{CM}{3} \cdot \frac{2\,CM}{3} \\ &= \frac{2}{9}CM^2, \\ CR^2 &= CS \cdot CN \\ &= \frac{2}{9}CM^2, \end{aligned}$ so $MT = CR.$ Since $AR = AT$ (tangents from $A$ ), we get $AC = AR + RC$ $= AT + TM$ $= AM = 10.$

Write $a = BC$ and $s = \frac{20 + a + 10}{2} = 15 + \frac{a}{2}.$ The standard tangent length gives $AT = s - a,$ so $MT = AM - AT$ $= 10 - \left(15 - \frac{a}{2}\right)$ $= \frac{a - 10}{2},$ while the median length formula gives $CM^2 = \frac{2 \cdot 10^2 + 2a^2 - 20^2}{4} = \frac{a^2 - 100}{2}.$ Substituting into $MT^2 = \frac{2}{9}CM^2:$ $\begin{aligned} \frac{(a - 10)^2}{4} &= \frac{a^2 - 100}{9} \\ &\quad\Longrightarrow\quad 9(a - 10) \\ &= 4(a + 10) \\ &\quad\Longrightarrow\quad a = 26. \end{aligned}$

Then the sides are $20,$ $26,$ $10$ with $s = 28,$ and Heron's formula gives $\begin{aligned} [ABC] &= \sqrt{28 \cdot 8 \cdot 2 \cdot 18} \\ &= \sqrt{8064} = 24\sqrt{14}, \end{aligned}$ so $m + n = 24 + 14 = 38.$

Problemas del 2005 AIME I

Respuesta: 942

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Respuesta: 12

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