Question

¿Cuántos enteros positivos tienen exactamente tres divisores propios, cada uno de ellos menor que $50$ ? (Un divisor propio de un entero positivo $n$ es un divisor entero positivo de $n$ distinto del propio $n$ .)

How many positive integers have exactly three proper divisors, each of which is less than $50?$ (A proper divisor of a positive integer $n$ is a positive integer divisor of $n$ other than $n$ itself.)

Respuesta

Solución:

Un entero con exactamente tres divisores propios tiene exactamente cuatro divisores en total, así que es o bien $n = pq$ con $p$ y $q$ primos distintos (divisores propios $1, p, q$ ) o bien $n = p^3$ con $p$ primo (divisores propios $1, p, p^2$ ).

En el primer caso necesitamos que $p$ y $q$ sean ambos menores que $50.$ Hay $15$ primos por debajo de $50,$ lo que da $\binom{15}{2} = 105$ números de este tipo. En el segundo caso necesitamos $p^2 \lt 50,$ lo cual se cumple para $p = 2, 3, 5, 7,$ dando $4$ más.

El total es $105 + 4 = 109.$

An integer with exactly three proper divisors has exactly four divisors in total, so it is either $n = pq$ with $p$ and $q$ distinct primes (proper divisors $1, p, q$ ) or $n = p^3$ with $p$ prime (proper divisors $1, p, p^2$ ).

In the first case we need $p$ and $q$ both less than $50.$ There are $15$ primes below $50,$ giving $\binom{15}{2} = 105$ such numbers. In the second case we need $p^2 \lt 50,$ which holds for $p = 2, 3, 5, 7,$ giving $4$ more.

The total is $105 + 4 = 109.$

2005 AIME I Problema 3

Solución:

El Problema 3 en otros años