Question

¿Cuántos enteros positivos tienen exactamente tres divisores propios, cada uno de ellos menor que $50$ ? (Un divisor propio de un entero positivo $n$ es un divisor entero positivo de $n$ distinto del propio $n$ .)

How many positive integers have exactly three proper divisors, each of which is less than $50?$ (A proper divisor of a positive integer $n$ is a positive integer divisor of $n$ other than $n$ itself.)

Respuesta

Respuesta: 109

Conceptos:conteo de factores primo combinaciones

Nivel de dificultad: 2070

Pista pequeña:

Un número tiene exactamente cuatro divisores en total, y por tanto tres propios, exactamente cuando es $pq$ para primos distintos $p$ y $q,$ o un cubo de primo $p^3$

A number has exactly four divisors in all — hence three proper ones — exactly when it is $pq$ for distinct primes $p$ and $q,$ or a prime cube $p^3$

Pista grande:

Cuente los pares de primos distintos menores que $50,$ luego sume los primos $p$ con $p^2 \lt 50$

Count pairs of distinct primes less than $50,$ then add the primes $p$ with $p^2 \lt 50$

Solución:

Un entero con exactamente tres divisores propios tiene exactamente cuatro divisores en total, así que es o bien $n = pq$ con $p$ y $q$ primos distintos (divisores propios $1,$ $p,$ $q$ ) o bien $n = p^3$ con $p$ primo (divisores propios $1,$ $p,$ $p^2$ ).

En el primer caso necesitamos que $p$ y $q$ sean ambos menores que $50.$ Hay $15$ primos por debajo de $50,$ lo que da $\binom{15}{2} = 105$ números de este tipo. En el segundo caso necesitamos $p^2 \lt 50,$ lo cual se cumple para $p = 2,$ $3,$ $5,$ $7,$ dando $4$ más.

El total es $105 + 4 = 109.$

An integer with exactly three proper divisors has exactly four divisors in total, so it is either $n = pq$ with $p$ and $q$ distinct primes (proper divisors $1,$ $p,$ $q$ ) or $n = p^3$ with $p$ prime (proper divisors $1,$ $p,$ $p^2$ ).

In the first case we need $p$ and $q$ both less than $50.$ There are $15$ primes below $50,$ giving $\binom{15}{2} = 105$ such numbers. In the second case we need $p^2 \lt 50,$ which holds for $p = 2,$ $3,$ $5,$ $7,$ giving $4$ more.

The total is $105 + 4 = 109.$

2005 AIME I Problema 3

Respuesta: 109

Nivel de dificultad: 2070

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 3 en otros años