Question

Sea $ABCD$ un cuadrado, y sean $E$ y $F$ puntos sobre $\overline{AB}$ y $\overline{BC},$ respectivamente. La recta que pasa por $E$ paralela a $\overline{BC}$ y la recta que pasa por $F$ paralela a $\overline{AB}$ dividen $ABCD$ en dos cuadrados y dos rectángulos no cuadrados. La suma de las áreas de los dos cuadrados es $\frac{9}{10}$ del área del cuadrado $ABCD.$ Halla $\frac{AE}{EB} + \frac{EB}{AE}.$

Let $ABCD$ be a square, and let $E$ and $F$ be points on $\overline{AB}$ and $\overline{BC},$ respectively. The line through $E$ parallel to $\overline{BC}$ and the line through $F$ parallel to $\overline{AB}$ divide $ABCD$ into two squares and two nonsquare rectangles. The sum of the areas of the two squares is $\frac{9}{10}$ of the area of square $ABCD.$ Find $\frac{AE}{EB} + \frac{EB}{AE}.$

Respuesta

Solución:

Sea $AE = x$ y $EB = y,$ de modo que el cuadrado grande tiene lado $x + y$ y los dos cuadrados menores tienen lados $x$ y $y.$ La condición dice $x^2 + y^2 = \frac{9}{10}(x + y)^2.$ Multiplicando por $10$ y desarrollando, $10x^2 + 10y^2$ $= 9x^2 + 18xy + 9y^2,$ así que $x^2 + y^2 = 18xy.$

Dividiendo por $xy$ se obtiene $\begin{aligned} \frac{AE}{EB} + \frac{EB}{AE} &= \frac{x}{y} + \frac{y}{x} \\ &= \frac{x^2 + y^2}{xy} = 18. \end{aligned}$

Let $AE = x$ and $EB = y,$ so the square has side $x + y$ and the two smaller squares have sides $x$ and $y.$ The condition says $x^2 + y^2 = \frac{9}{10}(x + y)^2.$ Multiplying by $10$ and expanding, $10x^2 + 10y^2$ $= 9x^2 + 18xy + 9y^2,$ so $x^2 + y^2 = 18xy.$

Dividing by $xy$ gives $\begin{aligned} \frac{AE}{EB} + \frac{EB}{AE} &= \frac{x}{y} + \frac{y}{x} \\ &= \frac{x^2 + y^2}{xy} = 18. \end{aligned}$

2013 AIME I Problema 3

Solución:

El Problema 3 en otros años