Question

Sea $K$ el producto de todos los factores $(b - a)$ (no necesariamente distintos) donde $a$ y $b$ son enteros que satisfacen $1 \le a \lt b \le 20.$ Halla el mayor entero positivo $n$ tal que $2^n$ divide a $K.$

Let $K$ be the product of all factors $(b - a)$ (not necessarily distinct) where $a$ and $b$ are integers satisfying $1 \le a \lt b \le 20.$ Find the greatest positive integer $n$ such that $2^n$ divides $K.$

Respuesta

Solución:

Para cada valor $v = b - a,$ los pares $(a, b) = (1, v+1),$ $(2, v+2),$ $\ldots,$ $(20-v, 20)$ muestran que $v$ aparece exactamente $20 - v$ veces, así que $K = \prod_{v=1}^{19} v^{20-v}.$ Por tanto el exponente de $2$ en $K$ es $\sum_v (20 - v)\,e(v),$ donde $e(v)$ es el exponente de $2$ en $v.$

Solo los $v$ pares contribuyen: $v = 2, 6, 10, 14, 18$ dan $e = 1;$ $v = 4, 12$ dan $e = 2;$ $v = 8$ da $e = 3;$ y $v = 16$ da $e = 4.$ El total es $\begin{aligned} &18 + 16 \cdot 2 + 14 + 12 \cdot 3 \\ &\quad {}+ 10 + 8 \cdot 2 + 6 + 4 \cdot 4 + 2 \\ &= 150, \end{aligned}$ así que $n = 150.$

For each value $v = b - a,$ the pairs $(a, b) = (1, v+1),$ $(2, v+2),$ $\ldots,$ $(20-v, 20)$ show that $v$ occurs exactly $20 - v$ times, so $K = \prod_{v=1}^{19} v^{20-v}.$ The exponent of $2$ in $K$ is therefore $\sum_v (20 - v)\,e(v),$ where $e(v)$ is the exponent of $2$ in $v.$

Only even $v$ contribute: $v = 2, 6, 10, 14, 18$ give $e = 1;$ $v = 4, 12$ give $e = 2;$ $v = 8$ gives $e = 3;$ and $v = 16$ gives $e = 4.$ The total is $\begin{aligned} &18 + 16 \cdot 2 + 14 + 12 \cdot 3 \\ &\quad {}+ 10 + 8 \cdot 2 + 6 + 4 \cdot 4 + 2 \\ &= 150, \end{aligned}$ so $n = 150.$

2010 AIME II Problema 3

Solución:

El Problema 3 en otros años